一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 引理如果齐次线性方程组 a11x1+a12X2+.+a1nxn=0, a21x1+a22X2+.+a2nxn=0, (1) as1x1+as2x2 ++asnxn =0 的系数矩阵A=(a)sxn的行秩r<n,那么它有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 引理 如果齐次线性方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒔𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒔𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒔𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （1） 的系数矩阵𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒔×𝒏的行秩𝒓 < 𝒏，那么它有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章线性方程组 证明记A的行向量组为α1，a2,.,因为它的秩为r,所以极大 线性无关组包含r个向量，不妨设前r个向量1,2，.，心，是它的一 个极大无关组，则向量组a1,a2,.,a,.a与Q1,2.,a等价， 从而方程组(1)和方程组 a11x1+a12x2+.+a1nxn=0, a21X1+a22x2+.+a2nxn=0, (2) arix1+ar2x2 +arnxn =0 同解，而方程组(2)有非零解，所以方程组(1)也有非零解
一、矩阵秩的定义 第三章 线性方程组 证明 记𝑨的行向量组为𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒔，因为它的秩为𝒓，所以极大 线性无关组包含𝒓个向量，不妨设前𝒓个向量𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓是它的一 个极大无关组，则向量组𝜶𝟏,𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓 , ⋯ 𝜶𝒔与𝜶𝟏, 𝜶𝟐, ⋯ , 𝜶𝒓等价， 从而方程组(1)和方程组 𝒂𝟏𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, 𝒂𝟐𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏𝒙𝒏 = 𝟎, ⋯ ⋯ 𝒂𝒓𝟏𝒙𝟏 + 𝒂𝒓𝟐𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒓𝒏𝒙𝒏 = 𝟎 （2） 同解，而方程组(2)有非零解，所以方程组(1)也有非零解