左极限e>0,38>0,使当x0-8<x<x时, 恒有∫(x)-A<8 记作limf(x)=A或f(xo-0)=A x→>xa-0 (x→>x0) 右极限Ve>0,38>0,使当x0<x<x+8时, 恒有f(x)-A<ε 记作limf(x)=A或f(x+0)=A x→xa+0 x→x 注意:{x0<x-x0<8} ={x0<x-x0<8}U{x-8<x-x0<0}
左极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x A x x x 恒有 使当 时 右极限 ( ) . 0, 0, , 0 0 − + f x A x x x 恒有 使当 时 { 0 } { 0} :{ 0 } 0 0 0 = − − − − x x x x x x x x x 注 意 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或
定理:im∫(x)=A分f(x0-0)=f(x0+0)=A 例5验证lm不存在 x→>0 证im m x→-0xx→-0x lim(-1)=-1 lim =lim=lim1=1 x→++0xx+0yx→+0 左右极限存在但不相等,∴lmf(x)不存在 x→>0
: lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理 lim . 0 验证 不存在 x x x→ y x 1 − 1 o x x x x x x − = →−0 →−0 lim lim 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ 例5 证 lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+
四、小结 函数极限的统一定义 lim f(n)=A; n→0 lim f(x)=A; lim f(x)=A; lim f(x)=A x→0 lim f(x)=A; lim f(x)=A; lim f(x)=A x→x 0 lim∫(x)=A分∨E>0,时刻,从此时刻以后, 恒有f(x)-A<6,(见下表)
四、小结 函数极限的统一定义 lim f (n) A; n = → lim f (x) A; x = → lim f (x) A; x = →+ lim f (x) A; x = →− lim ( ) ; 0 f x A x x = → lim ( ) ; 0 f x A x x = → + lim ( ) . 0 f x A x x = → − ( ) . lim ( ) 0, , , − = f x A f x A 恒有 时刻 从此时刻以后 (见下表)
过程n→>∞x→0x→>+x--0 时刻 N 从此时刻以后n>Nx>Nx>N|x<-N f(r) f(x)A<e 过程 x→X x→x x→x 0 寸刻 从此时刻以后0<x-xn<80<x-x<8-8<x-x<0 f(x) f(x)-A<8
过 程 时 刻 从此时刻以后 n → x → x → + x → − N n N x N x N x −N f (x) f (x) − A x → x0 0 x − x0 → + x x0 → − x x0 0 x − x0 0 − x − x0 过 程 时 刻 从此时刻以后 f (x) f (x) − A
思考题 xsin,x>0 试问函数f(x)={10,x=0在x=0处 5+x x<0 的左、右极限是否存在?当x→>0时,∫(x)的 极限是否存在?
思考题 试问函数 + = = 5 , 0 10, 0 , 0 1 sin ( ) 2 x x x x x x f x 在x = 0 处 的左、右极限是否存在？当x → 0时，f (x) 的 极限是否存在？