注意:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 28与任意给定的正数有关 2、几何解释: 当x在x的去心δ邻 y=f(x) A E 域时,函数y=f(x) A 图形完全落在以直-6 线y=A为中心线, 宽为2E的带形区域内.0x-0xx+6x 显然,找到一个δ后,δ越小越好
2、几何解释: y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 = = y A y f x x x 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 显然,找到一个后,越小越好
例2证明imC=C,(C为常数 x→>x0 证任给E>0,任取8>0,当0<x-x0<8时, f(x)-A=C-C=0<E成立,limC=C 例3证明limx=x0 x→x 证∵f(x)-A=x-x0,任给e>0,取8=8, 当0<x-x0<8=8时, f(x)-A=x-x0k<8成立,∴limx=x →x
例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f ( x ) − A = C − C 成立 , 任给 0 , = 0 lim . 0 C C x x = → 任取 0 , 0 , 当 x − x0 时 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 f − = − 任给 0 , 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = →
x2-1 例3证明lim 2 x→1 证函数在点x=1处没有定义 2 f(r)-A x-1任给8>0 要使f(x)-A<e,只要取δ=E, 当0<x-x<6时,就有-1 2<E im = x→)1x-1
例3 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A 任给 0, 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 函数在点x=1处没有定义. = x − 1 要使 f (x) − A , 2 , 1 1 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x
例4证明:当x>0时,imx=√x0 →x 证:/(x)-4=|x-√xn=1x| x 0 任给8>0,要使∫(x)-A<E, 只要x-x0<√xnε且不取负值取8=min{xn,xnE}, 当0<x-x0<8时,就有x-√x<, lim√x=√/x 0 x→x0
例 4 lim . 0 0 x x x x = → 证 0 f (x) − A = x − x 任给 0 , min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 0 0 x x x x +− = 要使 f (x) − A , , 0 就有 x − x , 0 0 x x − x . 只要 x − x0 x0 且不取负值 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时
3单侧极限: 例如, y=1-x 设∫(x)= ,x<0 x2+1,x≥0 证明lim∫(x)=1 分x>0和x<0两种情况分别讨论 x从左侧无限趋近x0,记作x→x0-0; x从右侧无限趋近x,记作x→xo+0
3.单侧极限: 例如, lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 证明 设 分x 0和x 0两种情况分别讨论 , x从左侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 − , x从右侧无限趋近x0 0; 记作x → x0 + y o x 1 y = 1 − x 1 2 y = x +