北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第10章 无穷级数 2常数项级数的审敛法

例10.2.3 讨论级数++…+ 的敛散性，其中常数p>0. 解：当p≤1，因为对一切n∈N+, n 又调和级数 发激，由比纹审敛法可知P级数。 n= 发散. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例10.2.3 讨论 p -级数 1 1 1 1 1 234 p p p p n + + + + + + 的敛散性，其中常数 p > 0. 解: 当 p 1, 因为对一切 又调和级数   =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

当p>1,因为当n-1≤x≤n时 , 故 dx [-][ 故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n n p p x n 1 n d 1 1  −  n n p x 1 x d 1    − −    − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数    − −    − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n    + −    = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n 1 当       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 

例10.2.4判定级数 的敛散性 解：因为 3= √n(n+in+ly (n=1,2,…） 而级数 发散 k=2 根据比较审敛法可知，所给级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 判定级数 的敛散性. 解: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例10.2.4

定理3（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑4n,∑Yn满足lim4n=1,则有 n=1 7n=1 n→oVn (1)当0≤1<+o,且∑yn收敛时， n=1 ∑4n也收敛； n=1 (2)当l=+o且∑yn发散时，∑4n也发散. n=l n=1 证：(1)由极限定义，对8=1，存在N∈N,当n>N时， 42<1+1,即un<(0+y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 (2) 当 l = +∞ 证: (1)由极限定义,对 设两正项级数 满足 (1) 当 0 ≤ l < +∞