6所以n= KnK是非负的整数，所以N的本征值n是非负整数，n=0,1,2.，没有上限，N[n)= nn),n = 0,1,2,...H (n) = ho (nH或N的本征态|n）构成了一组无穷多个可列的基向量.H或N在这组基上可以表示为无穷维的对角矩阵这个表象就是谐振子的能量表象，在第五章中提到过关于Hilbert空间的一个定理：L空间存在一组无穷多个可列基向量.谐振子的能量表象就是一个典型的例子升降算子作用于H的本征态的效果是an)α[n-1),a (n)α[n+1)将a|n）和at|n）归一化(nlata|n)= n, (n|aa'|n) = n + 1所以an)=n[n-1),at(n)=Vn+i|n+1)H的最小本征值是h，对应于n=0,相应的本征态[0)是谐振子的基态.用升算子作用于0)，得到[n) = (n!)-1/2(at)" [0)这样就得到了谐振子哈密顿量的所有本征态，基态[O满足方程a[0) = 0,1(X'+iP") :a=V22131令β=(ma.在位置表象中，10)表示为波函数o(x)，满足如下方程1d1(8x+)0(1) =0V20容易解出yo(x) α e-B2x2确定了归一化常数之后，有B1/2一4B3x2yo(x) =元1/4稍后我们将看到，o(x）是满足最小不确定关系的量子态的波函数处于基态的谐振子的能量并不等于零，这是量子现象谐振子的能级是En = ho(n +n=0.1,2
6 所以 n = Kn Kn 是非负的整数, 所以 N 的本征值 n 是非负整数, n = 0; 1; 2; , 没有上限. N jni = n jni; n = 0; 1; 2; H jni = „! n + 1 2 jni H 或 N 的本征态 jni 构成了一组无穷多个可列的基向量. H 或 N 在这组基上可以表示为无穷维的对角矩阵, 这个表象就是谐振子的能量表象. 在第五章中提到过关于 Hilbert 空间的一个定理: L2 空间存在一组无穷多个可 列基向量. 谐振子的能量表象就是一个典型的例子. 升降算子作用于 H 的本征态的效果是 a jni / jn 1i; a jni / jn + 1i 将 a jni 和 a jni 归一化. hnja ajni = n; hnjaa jni = n + 1 所以 a jni = p n jn 1i; a jni = p n + 1 jn + 1i H 的最小本征值是 1 2 „!, 对应于 n = 0, 相应的本征态 j0i 是谐振子的基态. 用升算子作用于 j0i, 得到 jni = (n!)1/2(a ) n j0i 这样就得到了谐振子哈密顿量的所有本征态. 基态 j0i 满足方程 a j0i = 0; a = 1 p 2 (X 0 + iP0 ) = 1 p 2 " m! „ 1/2 X + i 1 „m! 1/2 P # 令 ˇ = m! „ 1/2 . 在位置表象中, j0i 表示为波函数 0(x), 满足如下方程 1 p 2 ˇx + 1 ˇ d dx 0(x) = 0 容易解出 0(x) / e 1 2 ˇ 2x 2 确定了归一化常数之后, 有 0(x) = ˇ 1/2 1/4 e 1 2 ˇ 2x 2 稍后我们将看到, 0(x) 是满足最小不确定关系的量子态的波函数. 处于基态的谐振子的能量并不等于零, 这是量子现象. 谐振子的能级是 En = „! n + 1 2 ; n = 0; 1; 2;
7相邻能级之间的间距是相等的，均为の.可以写出a和at的矩阵元，(nJat|n)=Vn+18n/,n+1(n[a|n) = n8n',n-1,进而可以将a和at表示为无穷维的矩阵(o0000..00100..V20at =000V300.0:·：:::α的矩阵形式是上面无穷维矩阵的转置，用α和αt表示X和P，于是，在能量表象中，位置算子和动量算子也就具有了矩阵形式，当然它们都是无限维的.力学量在H的本征态上的期望值用升降算子表示位置X和P，有(X) = (P) = 0(X2) = (n[X2[n)九=2ma (al(a +a t(a+at)m)h- (nla? +at? + aat +atan)2m@(+)元同理有(|P2/n)=(n+)rmo于是X的方差与P的方差的乘积是(≤X)(AP)P-(n+) t或者AXAP = ((n+当n=0,即对于谐振子的基态，不确定关系达到最小值小结：·谐振子的哈密顿量的本征向量构成无限多个可列的基向量。·谐振子处于基态10)时，能量并不为零，而是具有零点能hの.而经典谐振子的最低能量是零。谐振子的相邻能级的能量差是固定的，hの·能级有下限但没有上限
7 相邻能级之间的间距是相等的, 均为 „!. 可以写出 a 和 a 的矩阵元, hn 0 jajni = p nın0 ;n1; hn 0 ja jni = p n + 1ın0 ;n+1 进而可以将 a 和 a 表示为无穷维的矩阵. a = 0 B B B B B B B B @ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 p 2 0 0 0 0 p 3 0 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 C C C C C C C C A a 的矩阵形式是上面无穷维矩阵的转置. 用 a 和 a 表示 X 和 P, 于是, 在能量表象中, 位置算子和动量算子也就具有了矩阵形式, 当然它们都是无限维 的. 力学量在 H 的本征态上的期望值. 用升降算子表示位置 X 和 P, 有 hXi = hPi = 0 hX 2 i = hnjX 2 jni = „ 2m! hnj(a + a )(a + a )jni = „ 2m! hnja 2 + a 2 + aa + a ajni = n + 1 2 „ m! 同理有 hnjP 2 jni = n + 1 2 „m! 于是 X 的方差与 P 的方差的乘积是 (∆X) 2 (∆P) 2 = n + 1 2 2 „ 2 或者 ∆X∆P = n + 1 2 „ 当 n = 0, 即对于谐振子的基态, 不确定关系达到最小值 „ 2 . 小结: 谐振子的哈密顿量的本征向量构成无限多个可列的基向量. 谐振子处于基态 j0i 时, 能量并不为零, 而是具有零点能 1 2 „!. 而经典谐振子的最低能量是零. 谐振子的相邻能级的能量差是固定的, „!. 能级有下限但没有上限