节目录 第六章大数定律与中心极限定理 6.1大数定律 62中心极限定理 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 节目录 6.1 大数定律 6.2 中心极限定理 第六章 大数定律与中心极限定理
本章理论: 大量客观现象 大数定律 中心 极限 随机事件频率的稳定性定理 大量测量 抽象 公理化体系 值的算术 大量随机 平均值也 随机事件的概率 基础L 变量服从 是稳定的 正态分布 概率论的结论(前5章) 几 为数理统计」奠定基础 数理统计 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 本章理论： 随机事件的概率 随机事件频率的稳定性 大量客观现象 概率论的结论 (前5章) 公理化体系 大数定律 抽象 基础 大量测量 值的算术 平均值也 是稳定的 大量随机 变量服从 正态分布 中心 极限 定理 数理统计 为数理统计 奠定基础
61大数定律 定理1(切比雪夫大数定律)设X1,X2…相互独立且 分别有数学期望EX及有公共上界的方差DX≤K(k=1,2, 作算术平均值V=∑X,则对v6>0,有 lim P EY 或 n→ En"0(m→∞)(称Y-EY依概率收敛于0 其中EH=∑EX 切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明:随着n的增 大,大量随机变量的算术平均值Yn稳定于它的期望值EYn 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 6.1 大数定律 lim − = 1 → n n n P Y EY 定理1 （切比雪夫大数定律） 设X1 , X2 , … 相互独立且 其中 分别有数学期望EXi 及有公共上界的方差 ( 1,2, ) DX K k i = 1 1 n n i i Y X n = 作算术平均值 = ,则 Y − EY ⎯→0 (n → ) P n n 或 ( 0) 称Y EY n n − 依概率收敛于 1 1 n n i i EY EX n = = 对 0,有 切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明：随着n的增 大, 大量随机变量的算术平均值Yn稳定于它的期望值EYn
为了证明切比雪夫定理,先证明切比雪夫不等式: 引理1(切比雪夫不等式)设随机变量X有数学期望EX 及方差DX则对vE>0,有 P({X-EX≥e}(切比雪夫不等式) 或 P({X-EX<e}≥1 DX (切比雪夫不等式) 证(只就连续型证明)设密度为f(x,则有 PIIX-Ex(26]= f(x)dx s x-EX 2 f∫(x)dx x-EX≥E x-EX≥E + DX (x-EX)∫(x)d. 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 引理1 2 1 DX P X − EX − （切比雪夫不等式）设随机变量X 有数学期望EX 或 及方差DX, 则 对 0,有 2 DX P X − EX 证（只就连续型证明）设密度为f (x), 则有 − − = x EX P X EX f (x)d x − − x EX f x x x EX ( )d 2 2 + − (x − EX) f (x)d x 1 2 2 2 DX = （切比雪夫不等式） （切比雪夫不等式） 为了证明切比雪夫定理，先证明切比雪夫不等式：
e x> 例1设Xf(x)=1n! 用切比雪夫不等式证明 x≤0. n P{0<X<2(n+1)}≥ n+1 证EX= x +00 e +(n+ to dx=n+1 0n1 1+2 n+1 2 x EX xf-e dx e+(n+2 e-dx=(n+1)(n+2) n n! 所以DX=EX2-(EX)2=(n+2(n+1)-(n+1)2=n+1 从而P{0<X<2(+1)}=P{X-EXkn+1} n+1 n+1 (这里E=n+1) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 例1 设X~ , 0, ( ) ! 0 , 0, n x x e x f x n x − = 用切比雪夫不等式证明 1 {0 2( 1)} + + n n P X n 证 0 e d ! n x x EX x x n + − = 2 2 0 e d ! n x x EX x x n + − = 所以 P{0 X 2(n + 1)} = P{| X − E X | n + 1} 2 ( 1) 1 1 + + − n n + 1 = n n 2 2 2 DX EX EX n n n = − = + + − + ( ) ( 2)( 1) ( 1) = n + 1 = (n + 1)(n + 2) (这里 = + n 1) 1 0 0 e ( 1) e d ! ! n n x x x x n x n n + + + − − = − + + 2 1 0 0 e ( 2) e d ! ! n n x x x x n x n n + + + + − − = − + + = n + 1 从而