长度空间全试义 回顾组面讨.过的知种对象:多项式,矩阵及d8.每个对象的元素~(有任如,每个对象的元素与 某个的域的的~(有验如.而这两种标算:,对那种对象都有共这的排律.Z有这些排律/有为条,△) 本的.当这些在象七来,度原成了在)6(”这,△反共△)本的线线 定一设,,,个的域.V,,个再6集从.对V/r何两个元素a,,有唯,的V/元 素与作使对C,称为a与,的x理下为核,卿即在V/定个了任如又对·/r,的;与V/ 元素有唯,的V/元素与作使对C,5做,与a的有理下为理定个了V的元素与的的 验积喻称纯。有这两种标算我垂反面为个条件 且任如道故律: 核,然,核C, 任如结从 核,且核γ然α核间核Y且Vα,,;,T∈Ⅴ 且写在元素是∈V理得 是核a然a,Va∈V 鉏对r,α∈V瞤在Iα∈V理吏得 α核间O且然是 咀且一α然a,Va∈v 且,南且然间, ∈.,a∈V 核C核∈a∈ 证称V,的域.,的物b空间间4.空间中V/元素称为4.中5做V的d域中 ()6(的标算除,面为个条件外,还有成反的,些)质,它r的 A我垂条件因的元素,唯,的 事都,,若有是∈V理吏得是核α然O,Va∈V证是然是核是然是核是然是中我使称是 为V的中元知问中4.中 B对此a∈V理垂条件至且的元素,唯,的,称1a为a的自元知问自4.中 事都,,若,∈Ⅴ使α核,然证,然是核,然间核闻c核,然闻αE核核,且然1α中 β,消去律:α,,;T∈Ⅴ理α核,然α核γ中证,然γ中 事都, 然是核,然1α核α核,然1α核α核γ然γ中 是然Va∈V,是a然是闻-然1c中 事都分是线、是师核然是占核是C理地是a然分是a然知地 是然,核是然,·是核,·是地,·是然是中 分是核是·a然是.a α核闻一然闰核闻一然是然α核间aF数间一然1a
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线仅∈性间∈V濰然是透则仅然是或间然题透 若仅然,测间然仪然间然是然透 在V中引入减法是很方便的.规定 间1理然间术理基 还有许多性质不再列举 例四数域性上所有既×矩阵的集合性Ⅺ对于矩阵的加法,矩阵与数的乘法构成性上的 线性的概.特别,性称为n维行向量空间透性m×1称为既维列向量空间透 例特数域性上一元多项式集合性圆对多项式的加法,多项式与数的乘法构成性上的线性的 例析的概中所有自由向工构成的集合对向工的加法,向工与实数的乘法构成线上的线性的概 例推设V是所有收敛的实数数列的集合,即 V然间然割闸间闸li叫存在间 则对数列的加法,数列与且数的乘法,V构成线上的线性的概 例升以济每叫间且表示所有在区概[叫上连续的函数的集合.对于函数的加法,函数与数 的乘法,济和且为线上的线性的概 设W为数域性上线性的概V的子集.如果对任管间唯∈W渗有间术理∈W透则称W对 加法封闭透如果对任管仅∈性间∈W潦有佩∈W透则称W对纯量乘法封闭透 定义特设W为数域性上线性的概V的非的子集.如果对于V的加法,纯工乘法W也构成 个线性的概,则称W是V的线性子空间滲简称子空间透 有两点要注意 W是线性的概,就有加法与纯工乘法这两种运算与V的两种运算一致.因而W对V的 两种运算都封闭.反过来,若W对V的两种运算都封闭,由W然渗有间∈W渗于是1间然 国然间1间∈W透由此容易验证W也是性上线性的概,即为V的子的概.W为V的 子的概,则对任管性∈W瀕佩术鋰∈W透之,若此断言成立取仅然然 经然是可知W对V的两种运算封闭,故为子的概,上面讨高说明下面三个命题等价: 急且W是V的子的概 且W对V的加法,纯工乘法封闭; i且v唾性闻∈W佩术鋰∈W透 忙线在子的概的定义中,要求W中两种运算与V的两种运算要一致因而如果在V的非的子集 W1中另外定义加法与纯工乘法使W1为线性的概,W1不能各做Ⅴ的子的概 例如,线1×3的子集W1然{緲国间围∈线}对线×3的两种运算都不封闭,故W不 是线X3的子的概.但若在W1中定义加法郃为术且 间术籝闯间然额术模术灵 纯工乘法急为*且 仅*御间然树臚
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容易证明W1是R上的线性空间,但不是R1×3的子空间! 例|设V是P上线性空间.则V与{0}都是V的子空间.它们叫做平凡子空间 例{设V是P上线性空间,a1,a2,…,as∈V.则V的子集 ∑kk∈P 是V的子空间,称为由a1,a2, as生成的子空间 事实上,G∈L(a1,a2 as),1≤i≤s.又由 ∑k+∑4G=∑(k+l k∑ka)=∑(k) 知L(a1,a2 as)对两种运算封闭,故为子空 ∑kG叫做a1,c2,…,as的一个线性组合 定理1设W1,W2为P上线性空间V的二子空间.则W1与W2的交W1∩W2,和 a1+a2a1∈W1,a2∈W2}也是V的 证由0∈W1∩W2,知W1∩W2≠.设a,B∈W1∩W2,k,l∈P.由 W:(=1,s,为子空间,故ka+l∈W.因而ka+lB∈W1∩W2.即W1∩W2 为V的子空间.其次,由0∈W,故W1W1+W2,=1,≤W1+W2≠队.设 a1+a2,B1+B2∈W1+W2,其中G;,B1∈W}k,l∈P.于是kcx;+3;∈W.故 k(ax1+a2)+l(1+B2)=(ka1+l61)+(ka2+l2)∈W1+W2,因而W1+W2是V的 子空间 118
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线性相关 ,RP相关与RP无关是建立RP空间结构与分类理论空基础,也是RP方程组理论空基础,因而是R 代数学最重要空间线之一.这个间线来源于向量空共R,共面 若c,不为二共R向量,则有不全为零空实数k1,k2易们k1a+k2不=是 若a,不而为知个共面向量,则有不全为零空实数k,k2,k,易们 k1a+k2不+k,而=是 反之,若c,不不共Rk1,k2∈R易们k1+k2不=是则k1=k2=是 若c,不而不共面,k1,k2,k,∈R易们k1a+k2不十k,而=是则k1=k2=k,=是 共R,共面在RP代数中叫RP相关;不共R不共面则叫RP无关.更于做空定义如下 定义1设V是数域P一空RP空间.V中向量组a1,a2,,Os称为线性b关如果有不 全为零空数k1,k2,,,k。∈P易们 k1c1+k22+ k。as=是 否则,称为线性无关 所则a1,O2, sRP无关,即若 是 则必有 k1=k2 k。=是 在定义1中空有限向量组{ax1,a2 般可以换成无限向量组A.称A为线性b关 如果A中有一个有限子集是RP相关空.称A为线性无关,如果A空任何有限子集是RP无关空 例1设V=P3n,令E;=E1;,即 是1,是…,是 则E1,E2 En是RP无关空.又若a∈P3.则E1,E2,,En,是RP相关空 事实一,若∑kE;三是即 k2,,k)=是 所以 k1=k2 kn=是 因而E1,E RP无关 又设a=(a1,a2 ).则 =是 119
jb 0./.C cW5kc %Cc +- &Kk"- - 1 *- R/3 :: 1 =- R/3 :: + 1 - :: 1 - :: - - 0.I- - /.d"a+ - ) ` ) C J % R/ :: e KJ /. ,1 f MC ?1'2'/MC J % Me@0. KJ % $Me@/. / - ) W . , g /.1 0. ^3 1 , ' /. -
n,1学全量零P故E1,E室∵…,En,a线性相关P 更一般有下E结也P 例2设V=∈mM.则E;数≤i≤m,1≤j≤线性零关P而Ej,1数≤i≤ m,1≤j≤m}(×V中任一元素=线性相关P 例 ,xn×∈[x]中线性零关组P又可∫(x=性∈r],基deg∫(x=≤n.则 xn,∫(x=×线性相关组P 事实上由∑4x=3知间=1=…=1=3故1,x,x穹…,m线性零关P又 deg∫(x=≤.因而有∫(x==∑a·于 Q间1+a1x+……+anx+(-1-(==3 间a1,……,an,-1学全量零P故1,x,x2……,xn,∫(x=线性相关P 下E介绍线性相关与线性零关的一些简单性质P总假定讨论中的元素×∈上线性的aV的元素P →一义元素a的向量组线性零关当基k当a中3.故都话说一a线性相关当基k当a=3 2. 8(s≥2=线性相关当基k当a1,空…,as中有一义a3量其结向量的 线性组合,或说可被其结向量线性表出 事实上由a1,空……,cs线性相关故有学全量零的空k1,空…,ks,学妨设ks中3,使 k1a1+k计+…+kss=3 即s可被a1,a空 s-1线性表出P 重之一可某义例如1可被其余向量线性表出一即有c1=a空+……+asQs·于 而 as学全量零P故 空∵,s线性相关P 3.向量组c1,空…,Qs线性零关当基k当它的任何部分组c1,c2,……,c,也×线性 零关的P 事实上一当t=8时知ci,ci2, i线性零关 as线性零关P即充 以称P 现设G1,c2:…,c:线性相关取故有学全量零的k1,k2,…,左:性∈,使得∑左 kt 中 则k1,k空…,ks学全量零P而∑kan=3.即a1,空…,as线性相关P必要性以称P
R/2 0. d ?+ c% / - ) . , / * /. . , / * ) $ U[ 0. / /.C1 0 0 * 0 0.C ^3 5 = 2 /. 0 * 0 " 0 R/2 0 0. + lb0./. ObhR>RZU[ ) U[ U[ C/. 234 0. - 0. 6c GH ; 1Æ6c lL ^3 5 0. 2R/ K- : " , 1Æ #L + 1Q" 1Æ6m#L , " R/2 0. C /.)$B5C % /. ^3 - = /. , /.,i 5' - 0.2R/ :: # , , , R/ , 0.f-'