从这个,质可以分出前则当α.f关与α.无关空间线由有限L量组扩充为一般L量组空必然.与 相学 是设间和不间α.无关,而间和间硐α.∫关.ε间可被间和不 间α.表出,性表示方式是唯一空∝计间和不间空次序.论 由间×间×基基间×间α.f关,知有不全为零空k和2转k不∈)裼 ∑k间+k间k,基 若kk k间k,不1不2不s不全为零.这与间×间×彗间α.无关矛盾,故 k 即间可被间××彗基α.表出 又若有间k∑4间不 k l,间k 由间x间×基基闻空Q.无关.知 职A基基该基 即间被间闯×基基闻α.表出空方式唯一 是若L量间可被间×间×基基闻a.表出,性表示法唯一,E间×间×基基间sα.无关 设间被间×间2×彗基间α.表出空方式为 间kk1间+k2间+…+ks 若间×间×基间α.f∫关,E有不全为零空l×l2×基l易们∑l间k,论因而间被 间×间×基基间用相一方式表出: 间kak1+l1.间+ck2+l2间+…+chs+ls间基 这与假设矛盾.故间×间×基基闻α.无关 A
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A,不秩,更子与基 秩上必的与基是由.∫容上α.零容导出的.空间的更是质更深矛的(R)是节总全定V是的 域,一的α.空间) 要132是V的两个L量组上有果1中每个元素可被2中一个有限部分组q.表出上Ej1 可被2线为表出可1可被2a,表出上2也可被1c,表出上j1与2等式,下量1~2 价具有重三个质) 反单 不传 质1,2是显最的)m证.质3.任表(∈1,由(可被2中有限部分组α.表出上故有 b,i3,;∈23b;∈ 又2可被3a.表出上故有 ∈3 因而 线 即(可被3中部分L量组.表出上于是1可被3a.表出)这理上3可被1a.表出)于是 这里上我使实际证明了:可1可被2a.表出上2可被3a.表出上E1可被3a.表出) 定所1(替换定所)要(13(23=3(sα.零容上P可被,13,23=3,ta.表出)E < 2)存在 价; 3)可,13,23=3,t.零容上E( 则m8V归充证明)8=1线上(1a.零容上即(1≠0.(1可被,13,23=3,ta 表出上故e≥1,P (1=三,1+=,2+…+千,t= 由(1≠0,故彐3=3=3平,假量零),妨要三≠0.于是 因而,13,23=3,t可被(13,23=3,t.表出)l最H13,23=3,t也可被,13,23=3,t 表出)于是,13,23=3,t与(13,23=3,t=价) 122
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若B,B2,…,A线性无关,则2,…,B也线性无关若α1,B2,…,Pt线性相关,则 a3j·于是 BI 这与B1,B2,,t线性无关矛盾.故a1,B2,∴,Pt线性无关.故此时定理成立 设811时定理成立.S时,有 as)I 与B1,B2,…,B等价.因而as可被a1,……,as)1,B2,BaA……,n线性表出 若t=811,则as可被a s)1线性表出,这与a1, Qs线性无关矛 设 s) 若b=b3)1=所B=b=0,则as可被a1,…,s)l线性表出,这与a1,…,as线性无关 矛盾.因而bs,bs+1, bx不全为零.不妨设bs中0.于是,由8=1的情况的证明知 s,) 与 as)1,B2,B2aA…,Bn等价,因而与A1,B2,…,At等价 B1,A2,…,At线性无关则由归纳全设a1,…,Os)1,2,BaA…,n1线性无关,仍由 s=1的情况的证明知 ,cs,BmA…,Bn线性无关 因而定理成立 定称1向量组A的部分组A1若满足: 1)A1是线性无关的 2)因.A,均可被A1线性表出 则称A1是A的极大线性无关部分组 定理2向量组A的任何两个素大线性无关部分组等价,且包含相同个数的向量.此数称为A的 秩下为 rank a或r(4) 证设A1,A2为A的两个素大线性无关部分组.由定义知A1,A2均与A等价.故A1与A2 等价.由定理1知2412l24222A422l2412故2412=242 推论等价向量组的秩相等 设A~B.又A1,B1分别为A,B的素大线性无关部分组.故A1~A,B1~B.故 A1~B1.由定理1知2412=2B12即r(A)=r(B) 若一个向量组中含有无限多个线性无关的向量,则规定其秩为L.又规定r(0)= 定称2V作为向量组的秩称为V的维数,下为dimV;V的素大线性无关部分组称为V的 除去个别例子,我使一般讨论有限维线性空间因而,我使不对维数特别声明时,总全定是有限的 123
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从上面讨论知:V的任何两组基等价;基中包含dimV个向量;a1,a2,……,an为V的基 当且仅当α1,a2,,,n满足下面两个条件: 1)a1,a2,……,an线性无关 2)Va∈V.a可被a1,a2 n线性表出 例1E1,E2,…,En是线性空间P的基.因而 dim卫 例2{E出≤≤m,1≤j≤m}是线性空间P×n的基.因而 dimp=mm 例31,x, 是线性空间P]的基因而 dim Plaz]=∞ 例4设a1,a2 as∈V.则 dim L(a1, a2 as)=r(al, a2, 且 as的极大线性无关部分组是L(a1,a2,…,a)的基 注意到,L(a1,a2 与 s等价 不难证明子空间的基可以扩充为空间的基 我们将线性相关性用于7阶方阵 定理3设A∈Pnn.则detA≠0当且仅当ol1A,col2A,,colA(∈P×)线性 无关,为P的基 证detA≠0,由 Cramer法则知齐次线性方程组 COlA=0 只有零解.即 =Tn=0. 因而ool1A,ol2A,,olA线性无关 又ⅤB∈P方程组AX=B,即∑x;ol1A=B有解故B可被olA,col2A Col2A线性表出,因而col1A,ol2A,,,ol2A为P的基 反之,设col1A,ol2A,,olA线性无关由于它们可被E1,e2,…,tn线性表出,故由定 理1知col1A,col2A,,olnA与E,2,…,En等价因此,VB∈Px1可被它们线性表 出.故l1A,cl2A,,ol2A为P×的基.特别,有 ∑b;ol1A= ≤ b1 b1 b x=的b21b2 b 124
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AX=In 即A量可扩矩阵.故detA中是 推论设A性·s齐次线性方程组 AX=是 有非零rB充分必要条件是deA=是 事实上,上方程组有非零r当基=当colA,ool2A,,ol2A线性相E.由定,3知,上 方程组有非零r当基二当detA=是
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