中国科学院：《随机过程》课程教学资源（知识点讲稿）第七章 平稳过程

第七章平稳过程 71定义与例子 定义711:随机过程X(),t∈T称为严平稳过程( (strictly stationary process)z对任 意n及t1<l2<…<Ln∈T,任意h,随机向量(x(1)…X(n)与 (x(1+h)…X(tn+h)有相同的联合分布。 严平稳过程是用有限维分布定义的,故该过程可能连均值函数都不存在。若 严平稳过程还是二阶矩过程,则其均值函数山(1)=m为常数,相关函数 R(s,1)=E(s)X(1)=EX(0)X(-1)只与S-1有关,协方差函数也仅与s-1有关。 定义72:随机过程X(),t∈T称为宽平稳过程( wide sense stationary process)若 它是一个二阶矩过程且满足 1)均值函数山()=m为常数; 2)协方差函数I(s1)=E[X(s)-m][(-m]或相关函数 R(S,1)=EY(s)X(1)仅依赖于s-t。 宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程,就是指宽平稳过程 例71.1:En,n=0,±1,+2,…为零均值的方差为σ2的独立同分布随机变量序列,令 Xn=∑5n,则Xn是一个平稳序列。因为EXn=0, EX X a2C∑66nm),m≤K-1 n+阴 0,m≥K. 例71.2:设N()为强度A的 Poisson过程,令X()=N(+1)-N(t),t≥0,则X(l) 是平稳过程,均值函数为()=2,m(s={(--1-1 0 由于平稳过程的相关函数R(s,1)和协方差函数r(s,1)只依赖与时间差s-t

第七章 平稳过程 7.1 定义与例子 定义 7.1.1：随机过程 称为严平稳过程(strictly stationary process)若对任 意 及 X (t),t ∈T n t1 < t2 < L < tn ∈T ，任意 h ，随机向量 ( ( ), ( )) 1 n X t LX t 与 ( ( ), ( ) X t1 + h LX tn + h )有相同的联合分布。 严平稳过程是用有限维分布定义的，故该过程可能连均值函数都不存在。若 严平稳过程还是二阶矩过程，则其均值函数 µ(t) = m 为常数，相关函数 只与 ______ _________ R(s,t) = EX (s) X (t) = EX (0) X (s − t) s − t 有关，协方差函数也仅与s − t 有关。 定义 7.1.2：随机过程 称为宽平稳过程(wide sense stationary process)若 它是一个二阶矩过程且满足： X (t),t ∈T 1) 均值函数µ(t) = m 为常数； 2) 协方差函数 或相关函数 仅依赖于 [ ][ ______________ Γ(s,t) = E X (s) − m X (t) − m] ______ R(s,t) = EX (s) X (t) s − t 。 宽平稳过程不一定严平稳。以下我们讨论平稳过程，就是指宽平稳过程。 例 7.1.1：ε n ,n = 0,±1,±2,L为零均值的方差为 的独立同分布随机变量序列，令 ， 则 是一个平稳序列。因为 ， 。 2 σ ∑= = − K i X n i n i 1 θ ε X n EXn = 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ − = ∑= + + 0, . ( ), 1; 1 2 m K m K EX X K i i m i n n m σ θ θ 例 7.1.2：设 N(t) 为强度λ 的 Poisson 过程，令 X (t) = N(t +1) − N(t),t ≥ 0，则 是平稳过程，均值函数为 X (t) µ(t) = λ ， ⎩ ⎨ ⎧ − > − − − ≤ Γ = 0, 1 (1 ), 1 ( , ) s t s t s t s t λ 。 由于平稳过程的相关函数 R(s,t) 和协方差函数Γ(s,t) 只依赖与时间差 s − t ， 1

令r=s-t,则相关函数和协方差函数实际上只是r的函数,分别记为R(r)和 r(r)。 72相关函数(协方差函数 相关函数(协方差函数)基本性质: 1)R(0)≥0; 2)R(-x)=R(x); 3)R(r)≤R(O); R(r)是非负定的,即对任意n,a1,=1…,n为复数及l1=1…n有 ∑∑aaR(,-1)≥0 定理72:设H(1)为平稳过程,则以下等价: 1)X(1)均方连续; 2)(1)在t=0处均方连续; 3)相关函数R(r)(或协方差函数)连续 4)相关函数R()(或协方差函数)在r=0处连续。 证明:用 Schwarz不等式及注意到EX(+h)-X()2=2RO)-Rh)-R-b)。 定理722:设Ⅺ(1)为平稳过程,则()p次均方可微台R(r)在r=0处2p次可 微。若以下导数存在,有EXP(s)X(()=(-1)°RP(r)=(-1)R(Pq(s-1) 73相关函数的谱分解 定理73.1:1).设Xn,n=0,±1±2…为平稳序列,则相关函数R(n)可以表示为 R(n)=emd(m),其中F(w)为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差

令τ = s − t ，则相关函数和协方差函数实际上只是τ 的函数，分别记为 R(τ ) 和 Γ(τ )。 7.2 相关函数(协方差函数) 相关函数(协方差函数)基本性质： 1) R(0) ≥ 0； 2) ； _______ R(−τ ) = R(τ ) 3) R(τ ) ≤ R(0)； 4) R(τ ) 是非负定的，即对任意 n ， ai ,i = 1,L,n 为复数及 ti ,i = 1,Ln 有 ( ) 0 1 1 ∑∑ − ≥ = = n j n i i j i j a a R t t 。 定理 7.2.1：设 X (t)为平稳过程，则以下等价： 1) X (t)均方连续； 2) X (t)在t = 0处均方连续； 3) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)连续； 4) 相关函数 R(τ ) (或协方差函数)在τ = 0处连续。 证明：用 Schwarz 不等式及注意到 ( ) ( ) 2 (0) ( ) ( ) 2 E X t + h − X t = R − R h − R −h 。 定理 7.2.2：设 X (t)为平稳过程，则 X (t) p 次均方可微⇔ R(τ ) 在τ = 0处 次可 微。若以下导数存在，有 。 2 p ( ) ( 1) ( ) ) ( ) ( ) ( 1) τ ( ( ) _________ ( ) ( ) EX s X t R R s t p q q p q q p q = − = − − + + 7.3 相关函数的谱分解 定理 7.3.1：1). 设 X n ,n = 0,±1,±2,L为平稳序列，则相关函数 可以表示为 ，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 R(n) ∫ − = π π R(n) e dF(w) jnw F(w) 2

是唯一的;特别若X是实的平稳序列,则R(m)= cos mvdF(m 2).设X()-0<1<为均方连续的平稳过程分相关函数R()可表示为 R(r)=e"dF(),其中F()为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 是唯一的;特别若x是实的平稳过程,则R)=∫ os ndF(n) F()称为谱函数( spectral function),若F()导数存在,即可表为 F()=∫/(h+C,fm)称为动率谱密度 power spectral density)由 Fourier 变换的知识,有 定理73,2:设R(n)或R(r)为平稳序列或过程的相关函数, 1若∑Ro)<∞,则谱密度存在且(m)=1∑mRm; 2).若「R)r<∞,则谱密度存在且f(w)=m emR(r)dr。 例7.3.1:已知功率谱密度∫()= 这里 4 a=re",0<r<1,则相关函数R(n)=「emf(n)hp=r" cosne,n≥0。故对所有 的n,R(m)= rIm cosne。 例732:已知相关函数R(n)=al<1n≥0,R(-m)=R(m)则功率谱密度 f() R(n)= 例7.3.3:已知功率谱密度为f() p>0,则相关函数

是唯一的；特别若 X n 是实的平稳序列，则 。 ∫ = π 0 1 R(n) cos nwdF (w) 2). 设 X (t),−∞ < t < ∞ 为均方连续的平稳过程 ⇔ 相关函数 R(τ ) 可表示为 ，其中 为单调非降的右连续的有界函数且不计常数之差 是唯一的；特别若 是实的平稳过程，则 。 ∫ ∞ −∞ ⋅ R( ) = e dF(w) jτ w τ F(w) X n ∫ ∞ = 0 1 R(τ ) cosτwdF (w) F(w) 称 为 谱函数 (spectral function) ， 若 导数存在，即可表为 ， 称为功率谱密度(power spectral density)。由 Fourier 变换的知识，有 F(w) F w f u du C w = + ∫ −∞ ( ) ( ) f (w) 定理 7.3.2：设 R(n)或 R(τ ) 为平稳序列或过程的相关函数， 1). 若 ∑ < ∞ ∞ n=−∞ R(n) ，则谱密度存在且 ∑ ∞ =−∞ − = n jnw f w e R(n) 2 1 ( ) π ； 2). 若 < ∞ ∫ ∞ −∞ R(τ ) dτ ，则谱密度存在且 ∫ ∞ −∞ − = τ τ π τ f w e R d j w ( ) 2 1 ( ) 。 例 7.3.1 ：已知功率谱密度 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − = 2 2 2 1 1 1 1 4 1 ( ) jw jw ae ae a f w π ，这里 ，则相关函数 。故对所有 的 ， a = re ,0 < r < 1 jθ ( ) = ( ) = cos , ≥ 0 ∫ − R n e f w dw r n n jnw n θ π π n R n r nθ n ( ) = cos 。 例 7.3.2：已知相关函数 R(n) = a , a < 1, n ≥ 0 n ， 则功率谱密度 _______ R(−n) = R(n) 2 2 1 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) jw n jnw ae a f w e R n − − = ∑ = ∞ =−∞ − π π 。 例 7.3.3 ：已知功率谱密度为 , 0 ( ) ( ) 2 2 > + = ρ π ρ ρ w f w ，则相关函数 3

R(r)=emf()hp=e叫。 例734:已知相关函数为R(r)=e叫,p>0,则功率谱密度 f(w) e r(r)dr= 丌(p2+w2) 74平稳过程的谱分解 定理741:1).设X(n),n=0,±1…为零均值的平稳序列,则 X(n)=emds(w) 其中5(),w∈[-x,r]为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对-z≤m1<v2≤,Em2)-5(m)2=F(m2)-F(m),其中F(m) 即为谱函数 2).设X()-<1<∞为零均值的均方连续的平稳过程,则 X()=「emd(w) 其中5().-∞<w<∞为零均值的右连续的正交增量过程,除相差一个随机变量 是唯一的,且对w1<m2,E(n2)-5(w)2=F(mn2)-F(n),其中F()即为谱 函数 75各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均,这种性质称为各态历经性 ( ergodicity),也称为遍历性。设X(l)-∞<t<∞为实的平稳过程,EY(t)=m, 相关函数为R(r),协方差函数为r(r)。 定义751:若lim「X()d=m,则称均值具有遍历性;若 T→∞2T imn「X(+r)X()d=R),则称相关函数具有遍历性 T→∞2

τ ρ τ τ − ∞ −∞ = = ∫ R e f w dw e j w ( ) ( ) 。 例 7.3.4 ：已知相关函数为 ( ) = , > 0 − τ ρ ρ τ R e ，则功率谱密度 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 w f w e R d jw + = = ∫ ∞ −∞ − π ρ ρ τ τ π τ 。 7.4 平稳过程的谱分解 定理 7.4.1：1). 设 X (n),n = 0,±1,L为零均值的平稳序列，则 ∫ − = π π X (n) e dξ (w) jnw 其中ξ (w),w∈[−π ,π ]为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对−π ≤ w1 < w2 ≤ π ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱函数。 F(w) 2). 设 X (t),−∞ < t < ∞ 为零均值的均方连续的平稳过程，则 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 其中ξ (w),−∞ < w < ∞ 为零均值的右连续的正交增量过程，除相差一个随机变量 是唯一的，且对 w1 < w2 ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 Eξ w2 −ξ w1 = F w − F w ，其中 即为谱 函数。 F(w) 7.5 各态历经性与采样定理 若过程的统计平均等于样本的时间平均，这种性质称为各态历经性 (ergodicity)，也称为遍历性。设 X (t),−∞ < t < ∞ 为实的平稳过程， ， 相关函数为 EX (t) = m R(τ ) ，协方差函数为Γ(τ )。 定 义 7.5.1 ： 若 X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ，则称 均值具有遍历性 ； 若 ( ) ( ) ( ) 2 1 lim X t τ X t dt R τ T T T T + = ∫ − →∞ ，则称相关函数具有遍历性。 4

定理75:设Ⅺ(l)-∞<1<∞为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性, 即2J￥(n)t=m白谱函数F(川)在w=0处连续台协方差函数满足 证明:不妨设m=0,否则考虑随机过程X(1)-m,此时r(r)=R(x)。由于 X(1) 因此 ( dt edhd5()=「Φ;(w)dl5(n) 2T sint 其中Φr() imΦr(v) jo.w≠0 l,w=0 由于 X(odr= (w)dF(w) i127Jx(n)d=lm[@()F()=F(0+)-F(O) 因此imE「X()d=0→F()在w=0处连续。 2T 由于r()=R(r dF(w) jr(rdr=T Sem dF(wdt=J oT jen"dt ldF(ow)= a, (w)dF(w) 故 limr(r)dr=lim pr (w)dF(w)=F(0+)-F(O 因此 ima r(r)dr=0Fm)在m=0处连续

定理 7.5.1：设 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性， 即 X (t),−∞ < t < ∞ X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ 谱函数 F(w) 在 w = 0 处连续 ⇔ 协方差函数满足 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ 。 证明：不妨设m = 0，否则考虑随机过程 X (t) − m，此时Γ(τ ) = R(τ )。由于 ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) jtw ξ 因此， ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt d w w d w T e d w dt T X t dt T T T T jwt T T jtw T T ξ ξ ξ ， 其中 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = 1, 0 , 0 sin ( ) w w wT wT T w ， 。由于 ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ Φ = →∞ 1, 0 0, 0 lim ( ) w w T w T ∫ ∫ ∞ − −∞ ( ) = Φ ( ) ( ) 2 1 2 2 X t dt w dF w T E T T T 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim 2 2 X t dt w dF w F F T E T T T T T = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ 因此 ( ) 0 2 1 lim 2 = ∫ − →∞ T T T X t dt T E ⇔ F(w)在w = 0处连续。 由于 ∫ ， ∞ −∞ Γ( ) = R( ) = e dF(w) jτw τ τ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ − −∞ ∞ − −∞ = Φ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Γ = = ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 _ e dt dF w w dF w T e dF w dt T d T T T T jwt T T jtw T T τ τ 故 ( ) lim ( ) ( ) (0 ) (0) 2 1 lim d w dF w F F T T T T T T Γ = Φ = + − ∫ ∫ ∞ −∞ →∞ − →∞ τ τ 因此 ( ) 0 2 1 lim Γ = ∫ − →∞ T T T d T τ τ ⇔ F(w)在w = 0处连续。 5