2)若P>1,因为当n-1≤x≤n时 故 X P n-1 dx P-1(n-1)P-1n p-1 p-12P np-(n+1) n→0 kP-(k +1)p-1 (n+1) 故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n p n p x n n 1 d 1 1 − n n p x x 1 d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在N∈Z+,对一切n≥N, (1)ln≥,则∑n发散; (2川n(P>1),则∑ln收敛 7=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2证明级数∑ 证:因为们√m(n+发徵 (n=1,2,…) n (n+ (n+1)2n+1 而级数∑ 1=1发散 n+1 k=2 k 根据比较审敛法可知,所给级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.(比较审敛法的极限形式)设两正项级数 ∑un2∑vn满足1iman=1,则有 12 (1)当0<l<∞时,两个级数同时收敛或发散 (2)当l=0且∑vn收敛时,∑mn也收敛; (3)当1=0且∑vn发散时,∑mn世发散 证:据极限定义,对>0,存在N∈Z+,当n>N时, <8 ≠∞ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(-E)vn≤ln≤(l+E) (n>N) (1)当0<1<时,取a<l,由定理2可知∑n与∑vn 同时收敛或同时发散 7=1 (2)当/=0时利用tn<(l+)vn(n>N),由定理2知 若∑vn收敛,则∑un也收敛; (3)当1=时,存在N∈Z+,当n>N时,>1,即 12 由定理可知若∑发散,则∑un也发散 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
n n n (l − )v u (l + )v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束