3变上限积分 ∫f(x)dk=f(x) 王王 dx ja d syf(dt= fly(x)ly'(x)fIo(x)lo'(x) dx dp(x) f(tdt lim = im ∫(x) (极限存在时) x→m (x-a)2x+a2(x-a) ∫f(x) Cat lin f(x)(极限存在时) x→ag(x) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） f (x)dx f (x) dx d x a = 3. 变上限积分 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) f t dt f x x f x x dx d x x = − （极限存在时） 2( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 x a f x x a f t dt x a x a x a − = → − → （极限存在时） ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x dx f x dx x a x a x a x→a → =
4积分方法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 2)换元法积分法 p()cB f(udu fl(xlo(x)dc 3)分部积分法 (确定积分部分和微分部分) 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 2)换元法积分法 1)直接积分法 利用不定积分表、积分性质以及定积分5个公式求积分 = = f u du f x x dx u x b a ( ) [ ( )] ( ) ( ) 3)分部积分法 （确定积分部分和微分部分） = − b a b a b a uv dx uv u vdx 4. 积分方法
5.典型例题 例1求 12√1-sin2x. 解原式=!imx-cwxt =.(cos x-sin x)dx+2(sin x-cos x)dx 4 =22-2. 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 例1 解 1 sin 2 . 2 0 求 − xdx = − 2 0 原式 sin x cos x dx = − + − 2 4 4 0 (cos x sin x)dx (sin x cos x)dx = 2 2 − 2. 5. 典型例题
T 例2求 sIn dx 0 sinx + cos x 解由Ⅰ=[2,.0a,设J=[2 0 sinx cos x 0 sinx+ cos x 则I+J=b女。x 2 I-J= sInx- cos dx= d(cos x +sin x) 0 Jo sinx+ cos x 0 sinx+cos x 上故得21=,即r=兀 2 4 高等数学(XJD) ▲u
高等数学（XJD） 解 . sin cos sin 2 0 + dx x x x 求 , sin cos sin 2 0 + = dx x x x 由 I , sin cos cos 2 0 + = dx x x x 设 J , 2 2 0 + = = 则 I J dx + − − = 2 0 sin cos sin cos dx x x x x I J + + = − 2 0 sin cos (cos sin ) x x d x x = 0. , 2 2 故得 I = . 4 即 I = 例2