NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例7.求y=mn(1+x)的n阶导数 解 x 1+x)]=-(1+x) y)=(-1)(-2)(1+x) (4) (-1)(-2)(-3)(1+x) 般,y=(-1)"1(n-1 (1+x) 类似 x±a (x±a) OD 高等數粤
例7. 求y =ln(1+x)的n阶导数. 解: , 1 1 x y + = = + −1 y (1 x) 2 (1 ) − = − + x ( 1)( 2)(1 ) , (3) −3 y = − − + x ( 1)( 2)( 3)(1 ) , (4) −4 y = − − − + x …… n n n x n y (1 ) ( 1)! , ( 1) ( ) 1 + − = − 一般 − . ( ) ! ) ( 1) 1 , ( 1 ( ) + = − n n n x a n x a 类似
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 定理1.设=l(x),=(x)在点x处具有n阶导数, 则ly=l(x)v(x)在点x处也有n阶导数, ∑ chunk).y( k) k=0 证:用数学归纳法证明 当n=1时,()=u"+ytu,公式成立 设n=m时公式成立,即 k,,(m-k)(k) ·1 k=0 OD 高等數粤
定理1. 设u=u(x), v=v(x)在点x处具有n阶导数, 则u ·v = u(x) v(x)在点x处也有n阶导数, 且 = − = n k k n k k n n u v C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 证: 用数学归纳法证明. 当n=1时, (uv)' = u'v + v'u, 公式成立. 设n = m时公式成立, 即 = − = m k k m k k m m u v C u v 0 ( ) ( ) ( ) ( )
NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 两边求导,得到当n=m+1时,有 (m+1) k,、(m-k),(k) ∑C 1+1 (m-k),(k+1) k=0 C0[u/m+)-y10)+lm).y)1+C[(m).y0)+1m)-y2 ).,(m)⊥,(O0)1,(m+1 Cmutv)(Cm+ Cm )um).yo+ +(Om-1 +c (1).,(m)⊥/m2(0)3,(m+1) OD 高等數粤
两边求导, 得到当n=m+1时, 有 = + − = m k k m k k m m u v C u v 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + = + m k k m k k m k k m C u v u v 0 ( 1) ( ) ( ) ( 1) [ ] [ ] 0 ( 1) (0) ( ) (1) 1 ( ) (1) ( 1) (2) C u v u v C u v u v m m m m m m = + + + + − [ ] (1) ( ) (0) ( +1) + + + m m m m C u v u v 1 (1) ( ) (0) ( 1) 0 ( 1) (0) 0 1 ( ) (1) ( ) ( ) − + + + + + = + + + m m m m m m m m m m m m m C C u v C u v C u v C C u v