第三章随机变量的数字特征$3.8切比雪夫不等式与大数定律概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 第三章 随机变量的数字特征 §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律
83.8切比雪夫不等式与大数定律1.切比雪夫不等式[定理1]设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在则对于任意的正数ε，下列不等式成立D(X)P[X-E(X)≥]≤8或D(X)P[X -E(X)|<8]≥126这两个不等式都叫做切比雪夫不等式目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 [定理1] 设随机变量 X 的数学期望 E(X ) 与方差 D(X ) 存在，则对于任意的正数 , , ( ) [ ( ) ] 2 D X P X − E X 或 . ( ) [ ( ) ] 1 2 D X P X − E X − §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 1.切比雪夫不等式 下列不等式成立 这两个不等式都叫做切比雪夫不等式
83.8切比雪夫不等式与大数定律证:设X为连续随机变量,X的概率密度为f(x),则P[X-E(X)}≥]=[f(x)dx.x-E(X)≥8由X-E(X)≥ε得,[X - E(X)]}≥1,3于是[x- E(X]]?P[X-E(X)≥] ≤f(x)dx3Jx-E(X)Z8[x -E(X)} f(x)dx = D(X)93eC目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 证：设 X 为连续随机变量， X 的概率密度为 f (x) , 则 P[ X − E(X ) ] ( ) . ( ) f x dx x−E X = 由 X − E(X ) 得， §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 1, [ ( )] 2 2 − X E X P[ X − E(X ) ] f x d x x E X x−E X − ( ) 2 2 ( ) [ ( )] 于是 x E X f x d x + − [ − ( )] ( ) 1 2 2 . ( ) 2 D X =
83.8切比雪夫不等式与大数定律当X为离散随机变量时，类似可证又因为X-E(X)≥ε与X-E(X)<ε是对立事件，所以有P[X- E(X)<s] =1-P[X - E(X)≥]D(X)>2C注：切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系，可用它来估计[X-E(X)<] 的概率目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 当 X 为离散随机变量时，类似可证. 所以有 P[ X − E(X ) ] =1− P[ X − E(X ) ] . ( ) 1 2 D X − 注：切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 来估计 [ X − E(X ) ] 的概率. §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 可用它 又因为 X − E(X ) 与 X − E(X ) 是对立事件
83.8切比雪夫不等式与大数定律2.大数定律[定义]对随机变量序列X,X2，,X，,若存在常数α,使得对于任意的正数ε，lim P(xn -α<)=1.n-o则称随机变量序列X按概率收敛于α目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 [定义] 对随机变量序列 , , , , , X1 X2 Xn 若存在 使得对于任意的 正数 , lim ( − ) =1. → P x a n n 则称随机变量序列 { } Xn 按概率收敛于 a . §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 2.大数定律 常数a