第三章随机变量的数字特征$3.7协方差与相关系数目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 第三章 随机变量的数字特征 §3.7 协方差与相关系数
83.7协方差与相关系数1.协方差随机变量X的离差与随机变量Y的离差的乘积[定义11的数学期望叫做随机变量X与Y的协方差(或相关矩）记作：cov(X，Y)，即cov(X ,Y)= EIX - E(XIY -EYI)目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 随机变量 X 的离差与随机变量 Y 的离差的乘积 的数学期望叫做随机变量 X 与 Y 的协方差(或相关矩）. 记作： cov(X ,Y), §3.7 协方差与相关系数 cov(X ,Y) = E{[X − E(X )][Y − E(Y)]}. 即 1.协方差 [定义1]
83.7协方差与相关系数协方差的计算公式[定理1]cov(X ,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)证：cov(X ,Y)= E[X - E(X)I[Y - E(Y)I)= E[XY - XE(Y)- YE(X)+ E(X)E(Y))=E(XY) - E(X)E(Y)-E(X)E(Y) +E(X)E(Y)= E(XY)-E(X)E(Y)目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 证： cov(X ,Y)= E{[X − E(X)][Y − E(Y)]} = E[XY − XE(Y) −YE(X) + E(X)E(Y)] = E(XY) − E(X)E(Y) − E(X)E(Y) + E(X)E(Y) = E(XY) − E(X )E(Y). §3.7 协方差与相关系数 [定理1] cov(X ,Y)= E(XY) − E(X )E(Y). 协方差的计算公式
83.7协方差与相关系数[例1] 设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布如下 :Y01-1X1/30001/301/31求协方差cov(X,Y)解：由上表可知X,Y的边缘概率分布为：Y01-1X0111121-3Py(yj)-3二Px(x;)一33.3目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 [例1] 设二维随机变量 (X ,Y) 的联合概率分布如下： 求协方差 cov(X ,Y). 解：由上表可知 X ,Y 的边缘概率分布为： §3.7 协方差与相关系数 X Y −1 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 3 1 3 X ( ) X i p x 0 1 3 1 3 2 Y ( ) Y j p y −1 0 3 1 3 1 1 3 1
83.7协方差与相关系数所以22E(X)=0×=+1×335E(Y)=(一?332又1E(XY) =(-1)×1×=+0×0×+1x1x=0333于是二×0=0cov(X ,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)= 03目录上一页下一页返回结束概率论与数理统计教程（第四版）
概率论与数理统计教程（第四版） 目录 上一页 下一页 返回 结束 所以 E(X ) 3 2 1 3 1 = 0 + , 3 2 = E(Y) 3 1 1 3 1 0 3 1 = (−1) + + = 0, E(XY) 3 1 1 1 3 1 0 0 3 1 = (−1)1 + + = 0, cov(X ,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) 0 3 2 = 0 − = 0. §3.7 协方差与相关系数 又 于是