26第7章参数估计二、极大似然估计④由此即得未知参数的极大似然估计量为A= X, ?=-Z(X, -X) = Sni=l
第7章 参数估计 26 2 2 2 1 1 ˆ , ( ) ˆ n i n i X X X S n = = = − = ④由此即得未知参数的极大似然估计量为 二、极大似然估计
二、极大似然估计27第7章参数估计(2） 已经求得=X,=S,,又0= P(X ≥2)=1-d以u.替代u,即得0的极大似然估计量为X2-00=1-(S.0第(2)问的解题过程用到了极大似然估计的不变性：如果θ是的极大似然估计，则对任一函数g(の），满足当Qe时，具有单值反函数，则其极大似然估计为g(①)
第7章 参数估计 27 ( ) 2 θ ˆ P X 2 1 − = = − 以 ˆ , ˆ 替代 , 即得 θ 的极大似然估计量为 2 2 ˆ ˆ θ 1 1 . ˆ n X S − − = − = − （2） 已经求得 ˆ = X, ˆ , n = S 又 第(2)问的解题过程用到了极大似然估计的不变性：如果 ˆ是 的极大似然估计，则 对任一函数 g( ) ，满足当 时，具有单值反函数，则其极大似然估计为 ˆ g( ) 。 二、极大似然估计
28二、极大似然估计第7章参数估计虽然求导函数是求极大似然估计的最常用的方法（我们称为对数求导法），但并不是在所有场合对数求导法都是有效的，当似然函数不可微时，也可以直接寻求使得L（①）达到最大的解来求得极大似然估计量（我们称为直接观察法）
第7章 参数估计 28 虽然求导函数是求极大似然估计的最常用的方法(我们称为对数求导法)，但并不是 在所有场合对数求导法都是有效的，当似然函数不可微时，也可以直接寻求使得L( )达 到最大的解来求得极大似然估计量(我们称为直接观察法). 二、极大似然估计
29二、极大似然估计第7章参数估计例9设总体X～U(0,0),(X,X,,X,）是来自该总体的样本,其中>0,0未知求的极大似然估计量解样本的似然函数为0<x, <0,i=1,2,,n0其余
第7章 参数估计 29 例9 设总体 ( ) ( ) 是来自该总体的样本,其中 未知. ~ 0, 1 2 θ , , , X U X X Xn θ 0,θ 求 θ 的极大似然估计量. 解 样本的似然函数为 其余 ( ) θ 0 θ, 1, 2, , θ = 0 n i x i n L − = 二、极大似然估计
二、极大似然估计30第7章参数估计当 0<x,<e(i=1,2,,n)时,对数似然函数为aln L(0)n￥0ln L()=-nlnθ,对数似然方程200显然无法求解出参数于是从原始定义出发讨论，发现L(①)作为的函数，具有不连续性，因此只能使用直接观察法，使L（①)取得最大值来求解.由L(o)的表达式可知，有越小L(o)越愈大，又≥maxX故取=maxX,时，L(@)达到最大值，即的极大似然估计量é=maxX,=X(a)
第7章 参数估计 30 显然无法求解出参数. 于是从原始定义出发讨论, 发现 ln L n (θ) = − lnθ , 对数似然方程 ln (θ) 0 θ θ L n = − L( )作为 的函数，具有不连续性，因此只能使用直接观察法，使 L( )取 得最大值来求解．由 L( )的表达式可知，有 越小 L( )越愈大，又 1 max i i n X ， 故取 1 ˆ max i i n X = 时， ( )ˆ L 达到最大值，即 的极大似然估计量 (n) 1 ˆ max i i n X X = = ． 二、极大似然估计 当 0 = x i n i θ( 1, 2, , ) 时, 对数似然函数为