一、矩估计6第7章参数估计解(1）从随机变量数字特征的结论，易知0-1分布的随机变量期望E(X=p，即未知参数P可表示称为总体一阶矩的函数p=E（X），用样本一阶矩替换总体一阶矩，可得P的矩估计量为p-X11即入(2) E(X所以元的矩估计量为元1XE(X2
第 7 章 参数估计 6 (1) 从随机变量数字特征的结论，易知 0-1 分布的随机变量期望 E X p ( ) = ，即未知 参数 p 可表示称为总体一阶矩的函数 p E X = ( )，用样本一阶矩替换总体一阶矩，可 得 p 的矩估计量为 p X ˆ= . (2) ( ) 1 E X = ，即 ( ) 1 E X = ，所以 的矩估计量为 1X = . 一、矩估计 解
一、 矩估计第7章参数估计7设总体X～P(a），其中>0未知，（X,X",X）为取自该总体的一个样本例21P(X =0) 的矩估计量.试求:的矩估计量;因为E(X)=，故的矩估计量可定义为=解(1)又D(X)==E(X)-(EX)，故的矩估计量又可写为=-x-?ni=l这说明矩估计可能不唯一，通常尽量采用较低阶的矩给出未知参数的估计120所以: P(X = 0)= e-X-E(X)解(2) 因 P(X =0)=O!
第7章 参数估计 7 为取自该总体的一个样本. 的矩估计量; P X( = 0) 的矩估计量. 解⑴ 因为 E X( ) = , 故 的矩估计量可定义为 ˆ = X. 例2 设总体 X P ~ () , 其中 0 未知, ( X X X 1 2 , , , n ) 又 2 2 D X E X EX ( ) ( ) ( ) = = − ，故 的矩估计量又可写为 2 1 1 2 ˆ X X n n i i = = − . 一、矩估计 试求: 1 2 这说明矩估计可能不唯一，通常尽量采用较低阶的矩给出未知参数的估计. 解⑵ 因 ( ) ( ) 0 0 e e e 0 ! E X P X − − − = = = = 所以: ( ) ˆ 0 e . X P X − = =
一、矩估计8第7章参数估计例3设总体X服从正态分布N（u,"），（X,XX）是取自总体X的一个样本，（1）求μ的矩估计量（2）已知α2未知，求α2的矩估计量；（3)U和都未知，求α2的矩估计量
第7章 参数估计 8 （2） 已知， 未知，求 的矩估计量； 2 2 设总体 X 服从正态分布 ( ) 2 N , ， ( X X X 1 2 , , , n )是取自总体 X 的一个样本， 一、矩估计 （1）求 的矩估计量； （3） 和 都未知，求 的矩估计量. 2 2 例3
一、矩估计9第7章参数估计解(1）=E(X)，故的矩估计量=;(2) 2=D(X)=E(x2)-E2(X), 又因为 μ=E(X)已知，故62=x-μ?n i=l未知，故(3)因为 μ=E(X)x? -(X) =(X,-X) =Ss2
第7章 参数估计 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (2) = = − D X E X E X , 又因为 = E X( ) 已知， (3) 因为 = E X( ) 未知，故 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ˆ . n n i i n i i X X X X S n n = = = − = − = 一、矩估计 (1) = E(X ) , 故 的矩估计量 ˆ = X ； 解 故 2 2 2 1 1 ˆ n i i X n = = −
一、矩估计10第7章参数估计关于矩估计量有下列结论设总体X的均值E(X)=μ,方差D(X)=α2，(X,X2,",X,)定理为取自该总体的一个样本则X是U的矩估计量,S，是2的矩估计量,S,是O的矩估计量
第7章 参数估计 10 定理 设总体 X 的均值 E X( ) = , 方差 ( ) ， 2 D X = ( X X X 1 2 , , , n ) 为取自该总体的一个样本, 则 X 是 的矩估计量, 是 的矩估计量, 是 的矩估计量. 2 n S 2 n S 关于矩估计量有下列结论: 一、矩估计