3）三角不等式对欧氏空间中的任意两个向量 α、β,有[α+ β≤[α| +[β(7)证:|α+β=(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤[ + 2|/β| + [β = (Iα| + β)两边开方，即得（7）成立距离不等式中[α-β≤α-+-β
（7） 证： 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 2 2 2 两边开方，即得（7）成立. 对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有 3）三角不等式 4）距离不等式
4.欧氏空间中两非零向量的夹角设V为欧氏空间，α、β为V中任意两非零向量α、β的夹角定义为(α,β)<α,β) = arccos[αl/βl(0≤<α,β)≤元)
设V为欧氏空间， 、 为V中任意两非零向量， 、 的夹角定义为 4. 欧氏空间中两非零向量的夹角 ( , ) , cos arc 0 ,
5．设α、β为欧氏空间中两个向量，若内积(α,β)=0正交或互相垂直，记作α工β.则称 α 与β注：（1）零向量与任意向量正交(2)当α±0,β0时, (α,βB)=0(α,β)=兰
注： (1) 零向量与任意向量正交. 设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积 , 0 则称 与 正交或互相垂直，记作 . 5. (2)当 0, 0 时， , 0 , 2
5．勾股定理设v为欧氏空间，Vα,βeVαβ>αβ=α+β证:： α+β=(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)[α+β=α+β>(α,β)=0>αβ
5. 勾股定理 设V为欧氏空间， , V 2 2 2 证： 2 , , 2 , , 2 2 2 ( , ) 0
6．推广：若欧氏空间V中向量αj,α2,αm两两正交,即(α;,α,)=0,i j,i,j=1,2,,m则 |α +α, +.+αm = [α +|α2 +...+[αm[?证：若(α,α,)=0，ij,则[α +α, + ..+αm -(Zα,Zα,)j=li=1m=Z(α,α,)+Z(α,α,)i=-1ijmE(α,α,)=|α +[α2 +...+[αmli1
若欧氏空间V中向量 两两正交， 1 2 , , , m 6. 推广： 则 2 2 2 2 1 2 1 2 . m m 证：若 ( , ) 0, i j i j ,则 2 1 2 1 1 ( , ) m m m i j i j 1 ( , ) ( , ) m m i i i j i i j 2 2 2 1 2 1 ( , ) m i i m i ( , ) 0, , , 1,2, , i j 即 i j i j m