3.向量长度的简单性质1)[α≥0;α=0α=02) [kα|=[k|α(3)3）非零向量α的单位化：
1) 0; 0 0 3. 向量长度的简单性质 3）非零向量 的单位化： 1 . 2) k k （3）
三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难1）在 R3中向量α 与β的夹角α·β<α,β>=arccos(4)[al/β2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先(α,β)1应证明不等式：αB
1）在 中向量 与 的夹角 3 R 2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先 三、欧氏空间中向量的夹角 1. 引入夹角概念的可能性与困难 应证明不等式： ( , ) 1 , cos arc （4）
2．柯西一布涅柯夫斯基不等式对欧氏空间V中任意两个向量α、β，有(α,β)≤αβ(5)当且仅当α、β线性相关时等号成立
对欧氏空间V中任意两个向量 、 ，有 ( , ) （5） 2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 当且仅当 、 线性相关时等号成立
3．柯西一布涅柯夫斯基不等式的应用1）柯西不等式a,b +a,b, +...+a,b,n(7)≤Va? +a? +...+a, yb?+b? +...+b?a, b, R, i=l,2,...,n
1 1 2 2 n n a b a b a b , , 1,2, , . i i a b R i n 3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a b b b （7） 1）柯西不等式
2）施瓦兹不等式 f(x)g(x)dx|≤ /5" F"(x)dx /5" g(x)dx证： 在C(a,b)中，f(x)与 g(x)的内积定义为(f(x),g(x)= [~ f(x)g(x)dx由柯西一布涅柯夫斯基不等式有(f(x),g(x)/≤f(x)g(x)从而得证
2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ( ( ), ( )) ( ) ( ) b a f x g x f x g x dx 由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x g x f x g x 从而得证. 证：在 C a b ( , ) 中， f x g x ( ) ( ) 与 的内积定义为 2）施瓦兹不等式