陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第九章 欧几里得空间

例3、已知 α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)在通常的内积定义下，求α,(α,β),<α,β),α-β解: |α|= /(α,α) = /2? +1? +3° +22 = /18 = 3/2元(α,β)=2×1+1×2+3×(-2)+2×1=0 :. <α,β)：2又 α-β=(1,-1,5,1): [α- β|= /1? +(-1) +52 +12 = /28 = 2V7通常称α-β为α与β的距离，记作d(α,β)

例3、已知      2,1,3,2 , 1,2, 2,1    在通常的内积定义下，求        ,( , ), , , .    解：   2 2 2 2           , 2 1 3 2 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0               , 2        又      1, 1,5,1   2 2 2 2            1 1 5 1 28 2 7 通常称      为 与 的距离，记作 d( , ).  

四、度量矩阵及其性质1.设si..,是n维的欧氏空间V一组基(c1,g)(),62).. (c1,8n)(62,9)(81,62).. (82,8)A=：.(cn,e)(cn,e) .. (cn,on)称A为基&,…,的度量矩阵

四、度量矩阵及其性质 1.设 n  , ,  1  是n维的欧氏空间V 一组基,                   1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , , , , n n n n n n A                                称 A为基 n  , ,  1  的度量矩阵

2.内积的矩阵表示设i，,n为n维欧氏空间V的一组基，α,βeV(1) α=xe +...+xgn, (2) β= yie) +.+y,n(sj,g).(cj,8n)(,2)...(62,6,)(2,5)(5,62):.(3) A:(cn,),68ga.JyiJ2(2)aa2nXTAY.=(α,β)=(xj,...ana

2.内积的矩阵表示 设 n  , , 1  为n维欧氏空间V 的一组基， , , V (1) 1 1 1 , n       x x (2) 1 1 n n       y y (3)                   1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , , , , n n n n n n A                                .     11 12 1 1 21 22 2 2 1 1 , , , n2 n n T n n nn n a a a y a a a y x x X AY a a a y                        . n

乐The Advanced AlgebraDr.ZhihuiLi特别地，在欧氏空间R"中，设α，βeR"，则(α,β)=αTβ=βTα3.度量矩阵是正定矩阵4.不同基的度量矩阵是合同的（1）1,,8n的度量阵为A=((s,8,))(2)β,…,β,的度量阵为B=((β,β,)(3) (y1,., yn)=(e1,*..,8n)C防即= B=CAC

The Advanced Algebra Dr. Zhi hui Li 特别地，在欧氏空间 R n 中，设 R , n   ，  则 T T （      ， ）=  3.度量矩阵是正定矩阵. 4.不同基的度量矩阵是合同的. （1） n  , ,  1  的度量阵为 A  ( , )  i j  ; (2) 1 , ,   n的度量阵为B  ( , )  i j ; (3) y1 ,, yn    1 ,,  n C   B C AC

α=Xe +Xe2 +... +xnenβ= yie1 + y2e2 +... + ynenn7n(α,β)=(2x8,Zyj8,)=-22(8,8,)x;yj(8)i=1j-1i=1 j=-1aj =(8;,8,), i,j=1,2,...n

1 1 2 2 n n         x x x 1 1 2 2 n n         y y y 令 ( , ), , 1,2, . ij i j a i j n     1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n i i j j i j i j i j i j       x y x y          （ 8 ）