线性系统理论——由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统

由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统 若原系统(对象)方程为 ⅹ=Ax+Bu,y=Cx(548) 现以状态观测器所得到的状态估计值xX代替原系统 的状态变量x形成状态反馈,即 u=v+KX 而观测器的方程为 X=(A-GC)X+Bu +Gy (549)

由被控对象、观测器和状态反馈构成闭环系统 若原系统(对象)方程为 x  = Ax + Bu , y = Cx (5-48) 现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原系统 的状态变量 x 形成状态反馈，即 ˆ x u = v + Kx ˆ 而观测器的方程为 x ˆ = (A − GC)x ˆ + Bu + Gy  (5-49)

由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭 环系统的方块图如图5-5所示。 Ax+Bi y=CX 观测器 K 图5-5

由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭 环系统的方块图,如图5-5所示。 图5-5 观测器 K ˆ x v u y y Cx x Ax Bu =  = +

合并上面的式子,可分别得到 X= AX+BKX+ Bv, y=CX (S-1) X=(A-GC +BK)X+GCx+Bu(S-2 图5-5所示的闭环系统,由于对象的方程为n维,而观 测器也是n维,所以闭环是一个2n维的系统,为了写 出它的动态方程,取状态向量为[xx 根据 (S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为 X A BK XB GCA-GC+BK‖x|B (5-50 y

合并上面的式子，可分别得到 xˆ (A GC BK)xˆ GCx Bu x Ax BKxˆ Bv , y Cx = − + + + = + + =   (S-1) (S-2) 图5-5所示的闭环系统，由于对象的方程为 n 维，而观 测器也是n 维，所以闭环是一个 2n 维的系统，为了写 出它的动态方程，取状态向量为 ，根据 (S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为 T T T [x x ˆ ]         =       +            − + =      xˆ x y C 0 v B B xˆ x GC A GC BK A BK xˆ x   (5-50)

将(5-50)式的动态方程进行如下的坐标变换 X I0‖x 0 0 P 变换后,所得到的动态方程为 A+BKBK‖xB 0A-GC‖x|0 (5-51) y=C O 可控性分解

将(5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换             − =      xˆ x I I I 0 x ~ x       − =       − = − I I I 0 P I I I 0 P 1 变换后，所得到的动态方程为         =       +            − + − =      x ~ x y C 0 v 0 B x ~ x 0 A GC A BK BK x ~ x   (5-51) 可控性分解

闭环系统的传递函数可以通过(5-51)式来计算。注 意到(5-51)式是可控性分解的形式,不可控部分AGC 在传递函数中计算过程中将被消去,闭环系统的传递 函数由可控部分决定,所以可得 G(S)=C[SI-(A+BK)I-B 上述关系表明图5-5所示系统的传递函数和用准确 的x作反馈时的传递函数完全一致,这说明用x代替 x作反馈未影响系统的输入输出关系

闭环系统的传递函数可以通过(5-51)式来计算。注 意到(5-51)式是可控性分解的形式，不可控部分 A-GC 在传递函数中计算过程中将被消去，闭环系统的传递 函数由可控部分决定，所以可得 G (s) C[sI (A BK)] B 1 f − = − + 上述关系表明图5-5所示系统的传递函数和用准确 的x 作反馈时的传递函数完全一致，这说明用 代替 x作反馈未影响系统的输入输出关系。 ˆ x