线性系统理论——线性时不变系统的稳定性分析

A,线性时不变系统的稳定性分析 §7-2.,7-3的部分内容 系统方程为 ⅹ=Ax+Bu y=CX (A-1) (A-)的解x()=c^x(O)+Je"Bp(dr (A-2) y(t)=CeAtx(0)+[CeA(t-t)Bu(t)dt 或用复数域表示 x(s)=(s-A)x(0)+(s-A)Bu(s) (A-3) y(s)=C(SI-A)X(0)+C(sl-A)Bu(s)

1 A, 线性时不变系统的稳定性分析 §7-2,7-3的部分内容 或用复数域表示 系统方程为 (A-1)的解 x  = Ax +Bu y = Cx (A-1)   = +   = +   − − t 0 A t A(t ) t 0 A t A(t ) y(t) Ce x(0) Ce Bu( )d x(t) e x(0) e Bu( )d (A-2) y(s) C(sI A) x(0) C(sI A) Bu(s) x(s) (sI A) x(0) (sI A) Bu(s) 1 1 1 1 − − − − = − + − = − + − (A-3)

由(A-2)可见x(t)y(t)由四部分组成,因此稳定性 分析要对这四部分进行,显然只有这四项都有界时系 统才能正常工作。因此,对系统采用状态空间的描述 方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和 系统可控性、可观测性密切相关。 ,运动模式及其收敛、发散、有界的条件 (A-1)式中A阵的特征值称为模态,n1重特征值入 对应的运动形式可能有S2…-s,它们均 称为系统的运动模式。但对应于λ的这些模式并非全 部都出现,究竞出现多少项取决于λ的几何结构。例 如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式:

2 由(A-2)可见x (t),y (t)由四部分组成，因此稳定性 分析要对这四部分进行，显然只有这四项都有界时系 统才能正常工作。因此，对系统采用状态空间的描述 方式时,带来了新的稳定性概念。这些稳定性概念又和 系统可控性、可观测性密切相关。 (A-1) 式中A阵的特征值称为模态，ni重特征值λ 对应的运动形式可能有 ,它们均 称为系统的运动模式。但对应于λ的这些模式并非全 部都出现，究竟出现多少项取决于λ的几何结构。例 如下面不同的若当形结构对应有不同的运动模式： t t n t e te t e   i 1  , , ,  − 一，运动模式及其收敛、发散、有界的条件

例题A-1 2 2t e 2 →)e A, 2 2t e 21 2t te 2t e A →)e e 2t e 2t 22t 21 te te A At 2t te 2t 2 2t e 3

3               → =           =           → =           = 2t 2t 2t 2t 2t 2 2t A t 3 2t 2t 2t 2t A t 2 e e te t e 2 1 e te e 2 2 1 2 1 A e e e te e 2 2 2 1 A 3 2           → =           = 2t 2t 2t A t 1 e e e e 2 2 2 A 1 例题A-1

(1)Reλ<0,λ对应的所有运动模式收敛,即随着时间 趋于无穷而趋于零 ②2)Reλ>0,λ对应的所有运动模式发散,即随着时间 趋于无穷而趋于无穷,并且是按指数规律发散 (3)Reλ=0,分两种情况:若λ对应的若当块全是一阶块, 这时λ的代数重数与几何重数一致,不会发生发散现 象,运动模式也不收敛,运动模式是有界的;当λ的 几何重数小于代数重数,对应的若当块一定有二阶 或二阶以上的出现,这时运动模式发散,但发散是按 时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时

4 (3) Reλ=0, 分两种情况：若λ对应的若当块全是一阶块， 这时λ的代数重数与几何重数一致，不会发生发散现 象，运动模式也不收敛，运动模式是有界的；当λ的 几何重数小于代数重数，λ对应的若当块一定有二阶 或二阶以上的出现，这时运动模式发散，但发散是按 时间的幂函数的规律。因此当零实部重根出现时, (1) Reλ< 0，λ对应的所有运动模式收敛，即随着时间 趋于无穷而趋于零。 (2) Reλ>0, λ对应的所有运动模式发散，即随着时间 趋于无穷而趋于无穷，并且是按指数规律发散

定要研究它的几何重数后,才可对运动模式的 形态作出结论。只要将题A-1中的特征值2换为零, 就可证实。 如果对动态方程(A-1)进行等价变换,不会改变运 动模式的性质,因而也不会改变(A-2)式中四项的有 界性,即等价变换不改变稳定性 稳定性问题是A的特征值问题,但在(A2)式中以 四项形式出现,也就是与BC阵密切相关,即与系统 的可控性、可观测性密切相关

5 一定要研究它的几何重数后，才可对运动模式的 形态作出结论。只要将题A-1中的特征值2换为零， 就可证实。 如果对动态方程(A-1)进行等价变换,不会改变运 动模式的性质，因而也不会改变(A-2)式中四项的有 界性，即等价变换不改变稳定性。 稳定性问题是A的特征值问题，但在(A-2)式中以 四项形式出现，也就是与B,C阵密切相关，即与系统 的可控性、可观测性密切相关