线性系统理论——实现

实现 标量传递函数 设给定有理函数 dsn+dns"-+…+d1s+d g0(s)= 0=d+ 阝1s-+…+βnS+β n-1 (3-34*) S+1S+…+n-1S+Cn S+aS+…+a1S+a (3-34*)式中的d就是下列动态方程中的直接传递部分 X=Ax+bu, y=cx+du 所以只需讨论(3-34*)式中的严格真有理分式部分 问题的提法是:给定严格真有理函数 g(s) βs-+…+βn1S+β n-1 3-34) S+anS+…+a1S+a

一、标量传递函数 设给定有理函数 (3-34*) 式中的d 就是下列动态方程中的直接传递部分 x  = Ax +bu , y = cx + du 所以只需讨论(3-34*)式中的严格真有理分式部分。 问题的提法是：给定严格真有理函数 实现 1 0 n 1 n 1 n n 1 n n 1 1 n 1 n n 1 1 n 1 0 n 1 n 1 n 0 s a s a s a s s d s s s ds d s d s d g (s) + + + +  + +  +  = + +  + +  +  + + + + = − − − − − − − −     (3-34*) 1 0 n 1 n 1 n n 1 n n 1 1 s a s a s a s s g(s) + + + +  + +  +  = − − − −   (3-34)

要求寻找Abc,使得 c(sl-A)b=g(s) (3-35*) 并且在所有满足(3-35*)式的Ab,c中,要求A的维数尽可能的 小。下面讨论g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况 对(3-34)式,可构造出如下的实现(A,b,c) a,可控标准形的最小阶实现(3-42)

要求寻找 A,b,c，使得 c(sI A) b g(s) 1 − = − (3-35*) 并且在所有满足(3-35*)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽可能的 小。下面讨论g(s)的分子和分母无非常数公因式的情况 对(3-34)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c) a,可控标准形的最小阶实现 (3-42)

000 0 A= (3-42) 0 00 对可控标准形最小阶实现(3-42)式,计算 (SI -A)b= s+x1S+…+Oxn-S+Cn:

对可控标准形最小阶实现 (3-42)式，计算               +  + +  +  − = − − − − n 1 1 0 n 1 n n 1 1 n 1 s s s s s s 1 (sI A) b     n n 1 1 n n 1 n 2 1 c 1 0 0 0 b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 A =                    =                 −  −  −  −  = − − −         (3-42)

b,可观标准形的最小阶实现(3-38) 00 A=01 (3-38) 00 =D00…01 (3-42)式给出的(A,b,c)具有可控标准形,故一定是可控的。可 直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于g(s)无 零、极点对消,故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观 的。这时A阵的规模不可能再减小了,因为再减小就不可能得 出传递函数的分母是n次多项式的结果。所以(3-42)式给出的

b,可观标准形的最小阶实现 (3-38) (3-42)式给出的(A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控的。可 直接计算它对应的传递函数就是(3-34)的传递函数。由于g(s)无 零、极点对消，故可知(3-42)式对应的动态方程也一定是可观 的。这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得 出传递函数的分母是n 次多项式的结果。所以(3-42)式给出的 c 0 0 0 1 b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 A 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n            =                =                 −  −  −  −  = − − − (3-38)

就是(3-34)的最小阶动态方程实现。同样可以说明(3-38) 式是(3-34)的可观标准形的最小实现 二、向量的情况 个元素为多项式的矩阵,可以写成矩阵为系数的多项式。 2s3+52+3ss3+4s2+6s+41「21 361「0 s+ S+ s2+6 s+1 (1)行分母展开时得可观标准形最小实现 s+1s2+3s+2 l+21 A (S+l)(s+2)

就是(3-34)的最小阶动态方程实现。同样可以说明(3-38) 式是(3-34)的可观标准形的最小实现。 二、向量的情况 一个元素为多项式的矩阵，可以写成矩阵为系数的多项式。       +       +       +        =      + + + + + + + 6 1 0 4 0 1 3 6 1 0 5 4 0 0 2 1 6 1 2 5 3 4 6 4 3 2 2 3 2 3 2 s s s s s s s s s s s (1) 行分母展开时,得可观标准形最小实现       + + 3 + 2 1 1 1 1, 2 s s s     0 1 1 0 2 1 1 3 0 2 ( 1)( 2) 1 0 2 1 =       =       − − = + + + A b c s s s