线性系统理论——状态反馈解耦

状态反馈 定理4-4若(A,B)可控,则对B值域中的任一非零向量b,均 存在一个状态反馈增益阵K1,使得(A+BK1,b)可控 证明 1,引理:(见习题4-3) 若(AB)可控,可选取向量u1u2…un1,使得由下式定义的n 个向量x1x2…xn线性无关。 x1=b,xk+1=Ax+Bu(k=1,2,…n-1)(S-1) 习题4-3的证明 用归纳法。k=1x1=b 若存在12l2,…,lk-1使x1,x2,…,xk(k<n)线性无关, 要证:存在uk,使xk+=Axk+Bk与x1,x2…,xk线性无关, 即xk*不属于Lk,此处Lk是所张成的空间

定理4-4 若(A, B)可控，则对B值域中的任一非零向量b，均 存在一个状态反馈增益阵K1，使得(A+BK1 , b)可控。 证明 1,引理：(见习题4-3) 若(A, B)可控，可选取向量u1 ,u2 , …,un-1，使得由下式定义的n 个向量x1 ,x2 , …,xn线性无关。 x1=b, xk+1=Axk+Buk (k=1,2, … ,n-1) (S—1) 习题4-3的证明 用归纳法。k=1 x1=b 若存在 u1 ,u2 ,  ,uk−1 使 x1 , x2 ,  , xk (k  n) 线性无关， k x , x , , x 要证：存在 ，使 与 1 2  线性无关， 即 不属于 ，此处 是所张成的空间。 k Axk Buk uk x +1 = + k+1 Lk Lk x 状态反馈

用反证法。V,x41=4x+B均属于L。,特别的取ak=0 xk+1=Axk属于Lk。由于x1-Ax=Bk(lk,),因为 xk41-A4xk∈k,所以mB∈L。又因为Dk中的任一向量x,(i≤k) 有x1=Ax1=x1-Bm1∈Li=1,2…k。Lk是A的不变子 空间,且包含了B的值域,所以Lk包含了(A|B),这与 (A|B)的维数为n相矛盾。 2,定义矩阵K1 K xn]=1 K,= (S-2) K1将n维向量x1,x2…,xn映射为p维向量1,2…,aln=130, 是p×n矩阵

所以 包含了 ， 用反证法。 , uk k Axk Buk x +1 = + Lk k u k Axk x +1 = Lk k Axk Buk x +1 − = , k u k Axk Lk x +1 −  B  Lk Im Lk x (i k) i  x Ax x Bu L i k k i i i k 1,2, , +1 = = +1 −  =  Lk Lk A｜B A｜B 均属于 ，特别的取 =0, 属于 。由于 ( ), 因为 ,所以 。又因为 中的任一向量 有 。 是A的不变子 空间，且包含了B的值域, 这与 的维数为n相矛盾。 2,定义矩阵 K1    0 1 1 2 n = 1 2 n−1 K x x  x u u  u    1 1 1 2 1 1 2 0 − = n− n K u u  u x x  x (S—2) n x , x , , x 1 2  u1 ,u2 ,  ,un−1 ,0 K1 将n维向量 映射为p维向量 是p×n矩阵

K1x1=41K1x2=2…K1x 3证明(A+BK1b)可控 x2=Ab+ Bu,=Ab+ BKX=(A+ BK6 x3=Ax2+ Bu2= Ax2+ BKx2=(A+ BK1x2=(A+ BK1 b Axn- 2+ Bun-2=(A+BKDxn-2=(A+ BK1)b xn= Axn-+ Bum=(A+ BKDxm=(A+ Bkb 因为x12x2…n线性无关,即 rankb(A+BK)6(A+ BK)2b.(A+ BK)b=n

1 1 1 1 2 2 1 −1 −1 = = = n n K x u K x u  K x u ( ) 3,证明 A+ BK1 b 可控 x A x Bu A BK x A BK b x A x Bu A BK x A BK b x A x Bu A x BK x A BK x A BK b x A b Bu A b BK x A BK b x b n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − − − − − − = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + = + =  rankb A BK b A BK b A BK b n n + + + = −1 1 2 1 1 ( ) ( )  ( ) n x , x , , x 因为 1 2  线性无关，即

定理4-5若系统(4-1)可控,则存在状态反馈增益阵K,使得 A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置(复数 共軛成对出现)。 证明首先选取非零向量L,可得b=BL,由定理44可知存在 K1,使(A+BK1b)可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行 向量k,使得A+BK1+bk的特征值可任意配置,由于 A+BK+bk=A+BK+BLk- A+B(K+Lk) 所以取K=K1+Lk,即可证明定理4-5。 例题1系统方程为 文=010x+10L= 001 试构造K1,使(A+BK1,b=BL)可控

所以取K= K1+Lk，即可证明定理4-5。 A+BK1+bk=A+BK1+BLk= A+B(K1+Lk) 定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得 A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数 共軛成对出现）。 证明 首先选取非零向量L，可得b=BL，由定理4-4可知存在 K1，使(A+BK1 b)可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行 向量k，使得A+BK1+bk 的特征值可任意配置， 由于   T x x u L 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 =           +            = 例题 1 系统方程为 试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控

解取x1=BL=b,由 b,x+1=Ax+Bu(k=1,2,…,n1) 因为Ax与x线性无关,故取x2=Ax1可得u1=[00。又因为Ax2 与x1x2构成线性相关组,u2不能取[001,可取u2=[-11,这样 可得x=Ax2+Bu2=[202]由的计算式(S-2)可得 012 K 110 010 A+ BKI 01 011 b(A+BK1 )b(A+BK1)b] 101

解 取x1 =BL=b, 由 x1=b, xk+1=Axk+Buk (k=1,2, … ,n-1) 因为Ax1与x1线性无关，故取x2 = Ax1,可得u1 =[00] T 。又因为A x2 与x1 x2构成线性相关组，u2不能取 [00] T ，可取u2=[-1 1] T ，这样 可得x3 = Ax2+B u2 = [2 0 2] T 。由的计算式(S—2)可得             + + = −           − + = − −       − − − − =                 − = − 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 0 2 1 1 1 1 1 b A BK b A BK b A BK K