§3-3动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系 本节研究动态方程的的可控性、可观性与传递函数零、极点 相消问题之间的关系。 单变量系统 考虑单变量系统,其动态方程为 文=Ax+bu,y=cx (3-30) (3-30)式对应的传递函数为 &s)=c(sI-A)b cadi(sI-A)b N(S (3-31) 式中 N(S)=cadj(sl-A)b D(S)=SI-Al
本节研究动态方程的的可控性、可观性与传递函数零、极点 相消问题之间的关系。 考虑单变量系统，其动态方程为 x = Ax + bu, y = cx (3-30) (3-30)式对应的传递函数为 D(s) N(s) sI A cadj(sI A)b g(s) c(sI A) b 1 = − − = − = − (3-31) D(s) sI A N(s) cadj(sI A)b = − 式中： = − 单变量系统 §3-3 动态方程的可控性、可观测性与传递函数的关系
N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点,D(s)=△(s)=0的根 称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 定理3-10动态方程(3-30)可控、可观测的充分必要条件是 g(s)无零、极点对消,即Δ(s)和N(s)无非常数的公因式 证明首先用反证法证明条件的必要性,若有s=S0既使NS)=0, 又使A(s)=0 soI-A=0, cadj(s I-A)b=0 利用恒等式 (sI-AsI-A)-(sI-A) Cadj(SI-A)b=I
N(s)=0的根称为传递函数g(s)的零点， D(s)=Δ (s)=0的根 称为传递函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 定理3-10 动态方程(3-30)可控、可观测的充分必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 Δ(s)和N(s)无非常数的公因式。 证明 首先用反证法证明条件的必要性，若有s=s0既使N(s0 )=0， 又使Δ (s0 )=0 s0 I − A = 0, cadj(s0 I − A)b = 0 利用恒等式 I sI A cadj(sI A)b (sI A)(sI A) (sI A) 1 = − − − − = − −
可得 (sI- A)adj(sl-A)=D(S)I 将s=s代入,可得 Soadj(soI-A)=Adj(soI-A) 将上式前乘c、后乘b后即有 cAadjlsoI-a)b=so cadj(s I-Ab=SN(so)=0 前乘cA、后乘b后即有 CA adj(soI-A)b=So cAadj(soI-A)b=0 依次类推可得
(sI − A)adj(sI − A) = D(s)I 可得 将s= s0代入，可得 s adj(s I A) Aadj(s I A) 0 0 − = 0 − 将上式前乘c、后乘b后即有 cAadj(s0 I − A)b = s0 cadj(s0 I − A)b = s0 N(s0 ) = 0 前乘cA、后乘b后即有 cA adj(s 0 I A)b s 0 cAadj(s 0 I A)b 0 2 − = − = 依次类推可得
N(s)=cadj(soI-A)b=0 cAadj(s I-a)b=0 CA adj(soI-a)b=0 CA adj(s I-A)b=0 这组式子又可写成 CA dj (so I-a)b=0 CA n-1 因为动态方程可观测,故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵, 故有 adj(sol-A)b=0
cA adj(s I A)b 0 cA adj(s I A)b 0 cAadj(s I A)b 0 N(s) cadj(s I A)b 0 0 n 1 0 2 0 0 − = − = − = = − = − 这组式子又可写成 adj(s I A)b 0 cA cA c 0 n 1 − = − 因为动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵， 故有 adj(s0 I − A)b = 0
又由于系统可控,不妨假定A、b具有可控标准形的形式,直接 计算可知 di(-a)b ≠0 出现矛盾,矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子,即g(s)不会出现零 极点相消的现象。下面再证充分性,即若N(s)和D(s)无相同因 子,要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法,若系 统不是既可控又可观测的,不妨设(3-30)是不可控的,这时可 按可控性分解为(2-36)的形式,并且可知这时传递函数 g(s)=c(sI-A)b cadi(sI-A)b N(S) SI-Al D(S)
又由于系统可控，不妨假定A、b具有可控标准形的形式，直接 计算可知 0 s s 1 adj(s I A)b n 1 0 0 0 − = − 出现矛盾，矛盾表明N(s)和D(s)无相同因子，即g(s)不会出现零、 极点相消的现象。下面再证充分性，即若N(s)和D(s)无相同因 子，要证明动态方程(3-30)是可控、可观的。用反证法，若系 统不是既可控又可观测的，不妨设(3-30)是不可控的，这时可 按可控性分解为(2-36)的形式，并且可知这时传递函数， D(s) N(s) sI A cadj(sI A)b g(s) c(sI A) b 1 = − − = − = −