由享克尔矩阵序列寻找最小阶实现 最小阶实现的问题的提法:考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s, 将它展成 G(S)=G(oo)+HoS+HS+ (3-62) 其中Hi=0,1,2.)是q×p的常量矩阵,通常将H称为G(s)的马尔 科夫参数矩阵。 若线性时不变动态程方程 X= Ax+Bu y= Cx+ Du (3-63) 是G(s)的一个实现,则根据定义有 G(S)=D+C(SI-A)B A 利用公式,(-A)=∑ 上式可展成 K-OS
最小阶实现的问题的提法：考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s)， 将它展成 G(s) = G(∞) +H0 s -1 +H1 s -2 +… ( 3- 62 ) 其中Hi(i=0,1,2…)是q×p的常量矩阵，通常将Hi称为G(s)的马尔 科夫参数矩阵。 是G(s)的一个实现，则根据定义有 G(s) = D + C(sI-A)-1B x = Ax +Bu y = Cx + Du ( 3- 63 ) 若线性时不变动态程方程 = + − − = K 0 k 1 k 1 s A 利用公式， (sI A) 上式可展成 由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现
G(S)=D+CBS+CABs-2+ (3-64) 引理1动态方程(3-63)是G()的一个实现,必要且只要 D=G(∞),Hi=CAB(i=0,1,2..)(3-65) 本引理可直接由比较(3-62)和(3-64)而得到。因为G(∞)直 接给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理 函数矩阵。 根据引理1,最小实现问题可重述如下: 给定矩阵序列{H},寻找一个三元组(A、B、C),使得 H=CAB,且(A、B、C)是可控且可观测的。 由矩阵序列{}可定义矩阵如下
引理1 动态方程（3-63）是G(s)的一个实现，必要且只要 D = G(∞) , Hi = CAiB ( i = 0, 1, 2 … ) (3- 65) 本引理可直接由比较（3-62）和（3-64）而得到。因为G(∞)直 接给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理 函数矩阵。 由矩阵序列{Hi}可定义矩阵Hij如下 G(s) = D +CBs—1 +CABs-2 +… (3- 64) 根据引理1，最小实现问题可重述如下： 给定矩阵序列{Hi}，寻找一个三元组（A、B、C），使得 Hi = CAiB，且（A、B、C）是可控且可观测的
H HH H H 1+j H称为由序列{}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{H}所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G()各元素的首一最小公分母为 2 s+a1s+a2S+…+ar1S+a 将G(s)展开成 R1S+R,S-2+…+R G(S) (3-66) s+a1s+…+ar
= − + − − i 1 i i j 1 2 3 1 2 j 0 1 j 1 i j H H H H H H H H H H H H Hij称为由序列{Hi}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{Hi}所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 r 1 r r 2 2 r 1 1 r s + a s + a s + + a s + a − − − 将G(s)展开成 r r 1 1 r r r 2 2 r 1 1 s a s a R s R s R G(s) + + + + + + = − − − ( 3 - 66 )
因为已假定G(s)是严格正则的,故(3-66)式分子的最高 幂次至多为r-1。合并(3-62)和(3-66),可得 RIsT-I+R2sr-+. Rr=(S+aIsr-I+. +ar)(Hos- +HiS 令s的同次幂系数相等,即有 Ho=Ri H1+a1H0=R2 Hr-talHr-2t. +ar- Ho= Rr Hr+i+aHr+i1+…+arHi=0(i=0,1,2.)(3-67) 写出j(i,j>r)如下
因为已假定G(s)是严格正则的，故（3-66）式分子的最高 幂次至多为 r-1。合并（3-62）和（3-66），可得 R1s r-1+R2s r-2+…Rr = (sr+a1s r-1+…+ar)(H0s -1+H1s -2+…) 令 s 的同次幂系数相等，即有 写出Hij（i，j > r）如下 H0 = R1 H1+a1H0 = R2 Hr-1+a1Hr-2+… +ar -1 H0 = Rr Hr+i +a1Hr+i-1+… +arHi = 0 ( i = 0,1,2… ) ( 3-67 )
HH H HH H HH 2 HH H, H H 2r-2 H 2r-1 H H (3-68) 2r H r+1 H, H 根据(3-67)式,可知H,的秩是有限数,至少Hr之后, (3-68)中的线性无关列不会再增加了 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如 上所述,它所对应的享克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题,任意给定一个无穷矩阵列{Hi},它可以实现的条件 是否是由{H}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢?
(3-68) − + − − − − + − + − i 1 i r 1 r 2r 1 2r r 1 r 2r 2 2r 1 1 2 r r 1 0 1 r 1 r r 1 j 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的，如 上所述，它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题，任意给定一个无穷矩阵列{Hi}，它可以实现的条件 是否是由{Hi}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？ 根据（3-67）式 ，可知Hij，的秩是有限数，至少Hrr之后， （3-68）中的线性无关列不会再增加了