线性系统理论——李雅普诺夫第二方法

§7-4李雅普诺夫第二方法 (1892年博士论文:运动稳定性的一般问题) 为了分析运动的稳定性李雅普诺夫提出了两种方 法 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程 的显式来对稳定性进行分析这是一个间接的方法; 第二种方法不是求解微分方程组而是通过构 造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定 性,因此又称为直接法, 目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法

§7—4 李雅普诺夫第二方法 为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两种方 法, 第一方法包含许多步骤,包括最终用微分方程 的显式来对稳定性进行分析,这是一个间接的方法; 第二种方法不是求解微分方程组,而是通过构 造所谓的李雅普诺夫函数来直接判断运动的稳定 性,因此又称为直接法, (1892年博士论文：运动稳定性的一般问题) 目前仍是研究非线性、时变系统比较有效的方法

例题7-7(P247) 主要介绍李氏第二方法的思路 ,符号函数的定义 V(x):x<gV(0)=0连续一阶偏导数 正定(负定):V(x)>0(<0 0<x‖<g 半正定(半负定):V(x)20(0≤)0<x|<s2 变号:不是定号与常号 VE>0,0<kx|<eV(x)可以取到不同符号

例题7-7(P.247) 主要介绍李氏第二方法的思路 一，符号函数的定义 V(x) ：‖x ‖ <  V(0)=0 连续一阶偏导数 正定(负定) ： V(x)>0 (<0) 0<‖x ‖ <  半正定(半负定) ：V(x) ≥0 ( 0≤ ) 0<‖x ‖ <  变号：不是定号与常号  ε >0, 0<‖x ‖ < ε V(x)可以取到不同符号

正定函数V(x)=C1>0的等值线示意图 C<C<C<C<<C<c

正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图 C1 ＜C2 ＜C3 ＜C4 ＜C5 ＜C6 ＜C7 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

例:变号V(x1x2)=x1x2 讨论方程 文=f(x)(7-39) f(o) O Ⅹ=0是方程的解,现研究ⅹ=0的稳定性

ε 例： 变号 V(x1 ,x2 ) = x1x2 x1 x2 + + － － 讨论方程 f(0) 0 x f(x) =  = (7-39) X = 0 是方程的解,现研究 x = 0 的稳定性

函数Vx)沿方程(7-39)解的导数是指 dv(x) Ov(x) 、Ov(x) f1(x) dt ∑ ∑ Ox av(x) Ov(x) av(x)‖f2(x) Ov(x) f(x)

f(x) x v(x) f (x) f (x) f (x) x v(x) x v(x) x v(x) f (x) x v(x) x x v(x) dt dv(x) T n 2 1 1 2 n i n i 1 i i n i 1 i         =                         =   =   =   = =    函数V(x)沿方程(7-39)解的导数是指