§4-1状态反馈和极点配置 本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方 程如下 文=Ax+Bu,y=Cx 线性状态反馈控制律为 u=v+KX (4-2) 式中的ⅴ是参考输入,K称为状态反馈增益矩阵, 这里它是p×n的矩阵。将(41)式和(4-2)式用方块图 表示,见图4-1,它是一个闭环系统
本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的动态方 程如下 x = Ax + Bu , y = Cx (4-1) 线性状态反馈控制律为 u = v + Kx (4-2) 式中的v 是参考输入，K称为状态反馈增益矩阵， 这里它是p×n 的矩阵。将(4-1)式和(4-2)式用方块图 表示，见图4-1，它是一个闭环系统。 §4-1 状态反馈和极点配置
A b A k 图4-1 图4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表 达式为 X=(A+BK)X+ Bv, y=CX (4-3) 式中A+BK为闭环系统的系统矩阵
x y b c A k v x 图4-1 图4-1所示引入状态反馈后的闭环系统的状态空间表 达式为 x = (A +BK)x +Bv, y = Cx (4-3) 式中A+BK为闭环系统的系统矩阵
定理4-1(4-3)可控→(4-2)可控 VK (A+BK) B]=[I-A BI 0 K I V入.K rank[ 2I-(A+BK)B]=rankJaI-A B(4-4) 状态反馈不影响可控性 状态反馈不能改变不可控中的模态,即开环的不可控模 在闭环中得到保持。影响可控性
状态反馈不影响可控性 定理4-1 (4-3)可控 (4-2)可控 rank I (A BK) B rank I A B ,K K I I 0 I (A BK) B I A B K p n − + = − − − + = − (4-4) 状态反馈不能改变不可控中的模态，即开环的不可控模 在闭环中得到保持。影响可控性
定理4-2状态反馈不改变可控子空间。 VK Im U=Im U2 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观 的系统在某些状态反馈下,闭环可以是不可观的。同 样,原来不可观的系统在某些状态反馈下,闭环可以 是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性,要进 行具体分析 例题系统的动态方程如下 0 y 01
定理4-2 状态反馈不改变可控子空间。 1 U2 Im U Im K = 状态反馈可能改变系统的可观测性。即原来可观 的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不可观的。同 样，原来不可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以 是可观的。状态反馈是否改变系统的可观测性，要进 行具体分析。 例题 系统的动态方程如下 u , y c c x 1 0 x 0 1 1 1 x = 1 2 + =
下表列出了系统c阵参数、状态增益向量k和系统 可观测性的关系。 k 原系统闭环系统 [11]不可观可观 1111 不可观 112]可观不可观 [11] 可观 任意 可观 可观 上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化 是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节
下表列出了系统 c 阵参数、状态增益向量 k 和系统 可观测性的关系。 1 0 任意 可观 可观 1 1 [1 1] 可观 1 1 [1 2] 可观 不可观 0 1 [0 1] 不可观 0 1 [1 1] 不可观 可观 c1 c2 k 原系统 闭环系统 上例可观性的变化可以从闭环传递函数的极点变化、 是否发生零极点对消来说明。具体解释参考下节