由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现 最小阶实现的问题的提法:考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s), 将它展成 G(s)=G()+H0s1+H1s2+. (3-62) 其中H(i=0,1,2,…)是q×p的常量矩阵,通常将Hi称为G(s)的 马尔科夫参数矩阵。 若线性时不变动态程方程 X= AX+Bu (3-63) y=Cx+Du 是G(s)的一个实现,则根据定义有 G(S=D+C(SI-A)B A 利用公式,(-A)=∑ 上式可展成 K-OS
最小阶实现的问题的提法： 考虑q×p的正则有理函数矩阵G(s)， 将它展成 G(s)=G(∞)+H0 s -1+H1 s -2+… (3-62) 其中Hi(i=0，1，2，…)是q×p的常量矩阵，通常将Hi称为G(s)的 马尔科夫参数矩阵。 是G(s)的一个实现，则根据定义有 G(s)=D+C(sI-A)-1B x = Ax +Bu y=Cx+Du (3-63) 若线性时不变动态程方程 = + − − = K 0 k 1 k 1 s A 利用公式， (sI A) 上式可展成 由亨克尔矩阵序列寻找最小阶实现
G(S=D+CBS+CABs+ (3-64) 引理1动态方程(3-63)是G()的一个实现,必要且只要 D=G(∞)H=CAB(=0,1,2,…) (3-65) 本引理可直接由比较(3-62)和(3-64)而得到。因为G(∞)直接 给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理函数 矩阵。 根据引理1,最小实现问题可重述如下: 给定矩阵序列{H1},寻找一个三元组(A、B、C),使得 H=CAB,且(A、B、C)是可控且可观测的。 由矩阵序列{H}可定义矩阵H如下
引理1 动态方程（3-63）是G(s)的一个实现，必要且只要 D=G(∞),Hi=CAiB (i=0，1，2，…) (3-65) 本引理可直接由比较（3-62）和（3-64）而得到。因为G(∞)直接 给出了动态方程实现中的D阵。故仅需要研究严格正则有理函数 矩阵。 由矩阵序列{Hi }可定义矩阵Hij如下 G(s)=D+CBs—1+CABs-2+… (3—64) 根据引理1，最小实现问题可重述如下： 给定矩阵序列{Hi }，寻找一个三元组（A、B、C），使得 Hi=CAiB，且（A、B、C）是可控且可观测的
H。H H H H 2 H H H H1称为由序列{H}生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{H1}所生成的亨克尔矩阵的特点 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 s+a1s+a2S+…+arnS+ar 将G(s)展开成 G(s) R1s+R2s2+…+R 3-66 s +a, s+...++a
= − + − − i 1 i i j 1 2 3 1 2 i 0 1 i 1 i j H H H H H H H H H H H H Hij称为由序列{Hi }生成的亨克尔阵序列。下面讨论由G(s)的 马尔柯夫参数矩阵序列{Hi }所生成的亨克尔矩阵的特点。 若记G(s)各元素的首一最小公分母为 r 1 r r 2 2 r 1 1 r s + a s + a s + + a s + a − − − 将G(s)展开成 r r 1 1 r r r 2 2 r 1 1 s a s a R s R s R G(s) + + + + + + = − − − 3-66
因为已假定G(s)是严格正则的,故(3-66)式分子的最高幂 次至多为r-1。合并(3-62)和(3-66),可得 R1S+R2s2+.R=(s+as1+.+a)(Hs+H1s2+.) 令s的同次幂系数相等,即有 H=R H, +a,h=R H1+a1H12+…+a-1H=R H+;+a1H+1+…+a1H=0 (1=0,1,2,…)(3-67) 写出H;(i,jr)如下
因为已假定G(s)是严格正则的，故（3-66）式分子的最高幂 次至多为r-1。合并（3-62）和（3-66），可得 R1 s r-1+R2 s r-2+…Rr=(sr+a1 s r-1+…+ar )(H0 s -1+H1 s -2+…) 令s的同次幂系数相等，即有 写出Hij（i，j>r）如下 H0=R1 Hr-1+a1Hr-2+…+ar-1H0=Rr Hr+i+a1Hr+i-1+…+arHi=0 H1+a1Ho=R2 (i=0，1，2，…)(3-67)
HH H HH H HH 2 HH H, H H 2r-2 H 2r-1 H H (3-68) 2r H r+1 H, H 根据(3-67)式,可知H,的秩是有限数,至少H之后, (3-68)中的线性无关列不会再增加了 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的,如 上所述,它所对应的享克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题,任意给定一个无穷矩阵列{H1},它可以实现的条件是 否是由{H}所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢?
(3-68) − + − − − − + − + − i 1 i r 1 r 2r 1 2r r 1 r 2r 2 2r 1 1 2 r r 1 0 1 r 1 r r 1 j 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 我们已经知道严格正则的有理函数矩阵是可实现的，如 上所述，它所对应的亨克尔的阵序列的秩是有限的。更一般 的问题，任意给定一个无穷矩阵列{Hi }，它可以实现的条件是 否是由{Hi }所生成的亨克尔阵的秩是有限的呢？ 根据（3-67）式 ，可知Hij，的秩是有限数，至少Hr r之后， （3-68）中的线性无关列不会再增加了