解耦 用状态反馈进行解耦控制 系统动态方程为 x= Ax+ Bu, y=Cx (4-32) 这里A,B,C分别为n×nn×p,p×n的矩阵。系统的传递 函数矩阵为 G(s)=C(s-A)1B(4-33) 定义若(4-32)的传函阵G)4-33)是对角形非奇异 矩阵,则称系统(4-32)是解耦的。 下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。 状态反馈控制律为 u=Kx+Hv(H为非奇异阵) (4-35)
1 这里A,B,C分别为n×n,n×p,p×n的矩阵。系统的传递 函数矩阵为 G(s)=C(sI-A)-1B (4-33) x = Ax+ Bu , y =Cx 定义 若(4-32) 的传函阵G(s)(4-33)是对角形非奇异 矩阵，则称系统(4-32)是解耦的。 用状态反馈进行解耦控制 下面研究的是如何利用状态反馈使系统解耦。 状态反馈控制律为 u=Kx+Hv (H为非奇异阵) (4-35) 系统动态方程为 (4-32) 解耦
文=(A+BK)x+BHv,y=Cx G(s, K,H)=CsI-(A+ BK) BH (4-36) 解耦问题:找出矩阵KH,使Gf(s)为对角、非奇异阵。 (1)准备知识 a,开、闭环传递函数矩阵的关系 G(S)=G(S)[I+K(SI-A-BK) BH G(s[I-K(SI -A)BH (4-37) b,非负整数d及非零向量E; 记C的第行为c;G(s)的第i行为G(s)。根据 (sI-A)=∑As i=0 2
2 解耦问题：找出矩阵K,H ，使G f (s)为对角、非奇异阵。 G (s,K,H) C[sI (A BK)] BH x (A BK)x BHv , y Cx 1 f − = − + = + + = (4-36) G(s)[I K(sI A) B] H G (s) G(s)[I K(sI A BK) B]H 1 1 1 f − − − = − − = + − − (4-37) b, 非负整数di及非零向量Ei 记C的第i行为ci；G(s)的第i行为Gi (s)。根据 = − − + − = i 0 1 i (i 1) (sI A) A s （１）准备知识 a, 开、闭环传递函数矩阵的关系
可将G1(s)表示成 C, (SI-A)B cBs+cABs2+…+cA4Bs+cA“Bs6t)+…(4-37a) 非负整数d定义,为(4-37a)式中由左向右s负幂次系 数是零的个数,即有 c.B=c:AB=…=c.A-B=0 E.=c:AB≠0 (4-40) 由传递函数阵G(s)出发,可知d及E的等价定义分别为 di=min[G1(s)各元素分母次数与分子次数之差]-1(4-38) E1=lmsG(s)=cA“B≠0 (4-39)
3 可将Gi (s)表示成 非负整数di,定义,为(4-37a)式中由左向右s负幂次系 数是零的个数，即有 E c A B 0 c B c AB c A B 0 i i d i i d 1 i i i = = = = = − (4-40) = + ++ + + − − − − − − + − d (d 1) i d 1 d i 2 i 1 i 1 i i i A i Bs i c Bs c ABs c A Bs c c (sI A) B (4-37a) 由传递函数阵G(s)出发，可知di及Ei 的等价定义分别为 di=min[Gi (s) 各元素分母次数与分子次数之差]-1 (4-38) E lim s G (s) c A B 0 i i d i i d 1 s i = = + → (4-39)
例题 给定如下的G(s),试计算d和E s+2 G(s)=s2+2s+1s2+s+2 s2+2s+1s2+2s+4 解d1=min12]-1=0,d2=min[221=1 E1=1msG1(s)=[10],E2=ms2G4s)[13
4 例题 给定如下的G(s)，试计算di和Ei + + + + + + + + + = 2 4 3 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 s s s s s s s s s G s 解 d1 =min[1,2]-1=0 , d2 =min[2,2]-1=1 E1 = sG1 (s)=[1 0] , E2= s 2G2 → (s)=[1 3] s Lim s→ Lim
例题45a系统方程为 000 x=001x+00 y 1-2-3|0 试计算d和E 解cB=[10,d1=0,E1=[10 C2B=[01],d2=0;E2=[01
5 解 c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0] c2B=[0 1], d2 =0; E2=[0 1] 例题4-5a 系统方程为 x x u y x = + − − − = 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 3 0 0 1 0 0 0 试计算di和 Ei