参考书 1,高为炳编著:运动稳定性基础高等教育 出版社1987年5月 2,黄琳:稳定性理论北京大学出版社 1992年7月 3,秦元勋、王慕秋、王联: 运动稳定性理论与应用科学出版社1980年 4,王柔怀、伍卓群编: 常微分方程讲义人民教育出版社1978年 5月
1, 高为炳编著： 运动稳定性基础 高等教育 出版社 1987 年5月 2, 黄琳： 稳定性理论 北京大学出版社 1992年7月 3, 秦元勋、王慕秋、王联： 运动稳定性理论与应用 科学出版社 1980年 4, 王柔怀、伍卓群编： 常微分方程讲义 人民教育出版社 1978年 5月 参考书
微分方程解对初值的连续依赖性 文=f(x,t (E) x(to)=Xo 解x(t)是自变量t的函数,to,x变动时对应的解也随 着变动,它应该是自变量t与初值to,x的函数,可写为 x(t,tx0)。例如 x=X(toe Xe 问题:当初值变动时,对应的解如何变动?在应用上 意义是:初值通常是用实验方法求得的,实验测得的 数据不可能绝对准确,若微小的误差会引起对应解的 巨大变动,那么所求的初值问题解的实用价值就很小
微分方程解对初值的连续依赖性 0 x0 x(t ) x f(x,t) (E) = = 解 x(t) 是自变量t的函数，t0, x0变动时对应的解也随 着变动，它应该是自变量t与初值t0,x0的函数, 可写为 x(t, t0,x0) 。例如 0 0 t t 0 t t 0 x x(t )e x e x x − − = = = 问题：当初值变动时，对应的解如何变动？在应用上 意义是：初值通常是用实验方法求得的，实验测得的 数据不可能绝对准确，若微小的误差会引起对应解的 巨大变动，那么所求的初值问题解的实用价值就很小
定理:若f(xt)在域内连续且局部满足 Lipschitz条 件,则E的解Ⅹ(t2txo)作为t,to2xo的函数在它的存 在范围内是连续的。即 ∨>0,3δ>0,使得当|x(o)-v(to)<6时,有 Ix(t, to, x(to))-y(t, to, v(to))<s, astsb, as to sb
定理：若f(x,t) 在域内连续且局部满足Lipschitz条 件，则E的解x(t, t0,x0)作为t, t0,x0的函数在它的存 在范围内是连续的。即 0, 0, 使得当 ‖ x (t0)- (t0) ‖ 时,有 ‖ x(t, t0,x(t0))- (t, t0, (t0)) ‖, a≤t≤b , a≤ t0 ≤b
7-1李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间[t。,+∞)满足存在和唯一性条件 考虑一般的时变、非线性、多变量系统,它的微 分方程式如下 文=F(t,x) (7-1) 其中x为n维向量,F(tx)为n维的函数向量。不失 般性,可以设 F(t,0=0 (7-2)
7-1 李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性的概念是微分方程解对初 值的连续依赖性这一概念在无穷时间区间上的推 广和发展。因此下面讨论时均假定所研究方程的 解在无穷区间 [t 0 ,+) 满足存在和唯一性条件。 考虑一般的时变、非线性、多变量系统，它的微 分方程式如下 其中x为n维向量，F(t,x)为n维的函数向量。不失 一般性，可以设 F(t,0)=0 (7-2) x = F(t, x) (7-1)
这时方程(7-1)有解x=0(满足x(to)=0),称为(7-1) 的显然解或零解 从物理概念上看,(7-2)式表示系统的平衡状 态,相应于状态空间中的座标原点 设有一个初始扰动,使系统的状态偏离了平衡 状态ⅹ=0。若初始扰动为x(to)=xo,显然在这个初始 扰动作用下,方程(7-1)所决定的运动是下列初值 问题 文=F(t,x)x(t0)=x 的解。将这个解表示为x(t)=x(t,xo,to)
这时方程（7-1）有解x=0(满足x(t0)= 0) ，称为（7-1） 的显然解或零解。 设有一个初始扰动，使系统的状态偏离了平衡 状态x=0。若初始扰动为x(t0)= x0 ，显然在这个初始 扰动作用下，方程（7-1）所决定的运动是下列初值 问题 x(t) x(t, x ,t ) 的解。将这个解表示为 = 0 0 0 x0 x = F(t, x) x(t ) = 从物理概念上看，（7-2）式表示系统的平衡状 态，相应于状态空间中的座标原点