般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数(或反三角函数)之积, 指数函数与三角函数(或反三角函数)之积, 幂函数与指数函数之积, 指数函数与对数函数之积, 一个函数难于用其它方法积分 两个函数的乘积
一般说来, 当被积函数为下列形式之一时, 可考虑 运用分部积分法进行计算: 幂函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 指数函数与三角函数 (或反三角函数) 之积 , 幂函数与指数函数之积 , 指数函数与对数函数之积 , 一个函数难于用其它方法积分 , 两个函数的乘积
v(x=sinx 例计算∫ x sinxdx u(x COS x 解】∫ csinxdx=x(-sx)j( cos x)dx x xt cosxdx xcos x +sinx+C
例 1解 sin d . 计算 x x x u(x) = x u(x) =1 v(x) = sin x v(x) = −cos x − xsin xd x = x(−cos x) − (−cos x)d x = −x cos x + cos xd x = −x cos x + sin x +C
COS x 例2 计算 x cosxdx x SIn x SIn x 2 SIn x 解「 x cosxdx SIn x 2sin2x2J2sin 2x cSc-x--cotx+O cosxdx r d(sin x) d u= sin x Sin x SIn x 12+C 2sin x
例 2解 . sin cos d 3 x x x x 计算 − x1 xx3 sin cos x 2 2sin−1 = − + x x x x x x x x 3 2 2 2sind 21 sin 2sin cos d cot . 21 csc 2 2 x x C x = − − + = = 3 3 3 d sin d(sin ) sin cos d u u xx x x x . 2sin1 21 2 2 C x = − u + C = − + − ( u = sin x )
arccos 例3计算 arccosxdx 解∫ arccosxdx=xarccosx+」 xax xarccosx √1-x2+C
例 3解 arccos d . 计算 x x − x arccos x 1 2 1 1− x − 1d arccos d arccos 2 − = + x x x x x x x arccos 1 . 2 = x x − − x + C
Sin x 例计算∫ sinxd: 2x OSX 解∫ x sin xdx=-x cos x+2 xcosxdx COS x =-x cos x+2(xsin x- sin x d x) Sin x =-x coS x+2xsin x+2 cosx+C 该例说明,与换元法一样,只要条件允许, 分部积分法可以连续使用
例 4解 sin d . 2 计算 x x x − −cos x sin x 2 x2x x sin xd x = −x cos x + 2 x cos xd x 2 2 − sin x x cos x 1 cos 2( sin sin d ) 2 = −x x + x x − x x cos 2 sin 2cos . 2 = −x x + x x + x +C . , , , 分部积分法可以连续使 用 该例说明 与换元法一样 只要条件允许