分析：（1）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx十b，需求出k，6的值，用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2十br十c，需求出a，b，c的值，由不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与轴平行）的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值（2）设所求二次函数为y=ax2十br十c.由已知，函数图象经过（一1，10），（1，4），（2，7）三点，得关于a，b，c的三元一次方程组a-b十c=10,a+b+c=4,(4a+26+c=7.解这个方程组，得a=2,b=-3,c=5.所求二次函数是y=2元2-3.r十5归纳求二次函数的解析式y=ax?+br十c，需求出a，b，c的值由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式，练习11.一个二次函数，当自变量r=0时，函数值y=一1，当工=一2与时，y=02求这个二次函数的解析式，2.一个二次函数的图象经过（0，0），（一1，一1），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式.14第二十八章二次函数
书 !"#$%&"'() 分析：（１）确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式狔＝犽狓＋犫，需 求出犽，犫的值．用待定系数法，由两点 （两点的连线不与坐标轴平行）的坐 标，列出关于犽，犫的二元一次方程组就可以求出犽，犫的值．类似地，确定二 次函数，即写出这个二次函数的解析式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，需求出犪，犫，犮的 值．由不在同一直线上的三点 （任意两点的连线不与狔轴平行）的坐标，列出 关于犪，犫，犮的三元一次方程组就可以求出犪，犫，犮的值． （２）设所求二次函数为狔＝犪狓２＋犫狓＋犮． 由已知，函数图象经过 （－１，１０），（１，４），（２，７）三点，得关于犪， 犫，犮的三元一次方程组 犪－犫＋犮＝１０， 犪＋犫＋犮＝４， ４犪＋２犫＋犮＝７． 烅 烄 烆 解这个方程组，得 犪＝２，犫＝－３，犮＝５． 所求二次函数是狔＝２狓２－３狓＋５． 求二次函数的解析式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，需求出犪，犫，犮的值． 由已知条件 （如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于犪，犫，犮 的方程组，求出犪，犫，犮的值，就可以写出二次函数的解析式． １．一个二次函数，当自变量狓＝０时，函数值狔＝－１，当狓＝－２与１ ２时，狔＝０． 求这个二次函数的解析式． ２．一个二次函数的图象经过 （０，０），（－１，－１），（１，９）三点．求这个二次函 数的解析式． ４１
习题28.1复习巩固1.一个矩形的长是宽的2倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式2.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是工，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，与工之间的关系可以用怎样的函数来表示？3.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y=4r2,y=-4r2,y=-A12的开口方向、对称轴和顶点，4.分别写出抛物线y=5z2与y=C5.分别在同一直角坐标系中，描点画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：112+3.y-(r-1)2;2-2;(r+2)2, y=-(1)y=(2)y=3411(α-1)3+2.(3)y=(+2)2-2,y-26：先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图：(2)y=4r2-24r+26;(1)y=-3r2+12r—3;12-2r-1.(3)y=2r2+8r-6;(4) y2综合运用7填空：(1）已知函数y=2r+1)2+1，当r<时，y随工的增大而减小，当工时，y随工的增大而增大；（2）已知函数y=-22十r一4，当r<时，y随工的增大而增大，当>时，y随工的增大而减小8.如图，在△ABC中，/B=90°，AB=12mm，BC=24mm,A动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度Q移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出S关于t的（第8题）函数解析式及t的取值范围二次函数15第二十八章
!"#$%&"'() 习题２８．１ １．一个矩形的长是宽的２倍，写出这个矩形的面积关于宽的函数解析式． ２．某种商品的价格是２元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是狓，经 过两次降价后的价格狔 （单位：元）随每次降价的百分率狓的变化而变化，狔与 狓之间的关系可以用怎样的函数来表示？ ３．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： 狔＝４狓２，狔＝－４狓２，狔＝１ ４狓２ ． ４．分别写出抛物线狔＝５狓２与狔＝－１ ５狓２的开口方向、对称轴和顶点． ５．分别在同一直角坐标系中，描点画出下列各组二次函数的图象，并写出对称轴和 顶点： （１）狔＝１ ３狓２＋３，狔＝１ ３狓２－２； （２）狔＝－１ ４（狓＋２）２，狔＝－１ ４（狓－１）２； （３）狔＝１ ２（狓＋２）２－２，狔＝１ ２（狓－１）２＋２． ６．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再描点画图： （１）狔＝－３狓２＋１２狓－３； （２）狔＝４狓２－２４狓＋２６； （３）狔＝２狓２＋８狓－６； （４）狔＝１ ２狓２－２狓－１． ７．填空： （１）已知函数狔＝２（狓＋１）２＋１，当狓＜ 时，狔随狓的增大而减小，当狓＞ 时，狔随狓的增大而增大； （２）已知函数狔＝－２狓２＋狓－４，当狓＜ 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞ 时，狔随狓的增大而减小． A B C P 4 （第８题） ８．如图，在△犃犅犆中，∠犅＝９０°，犃犅＝１２ｍｍ，犅犆＝２４ｍｍ， 动点犘 从点犃 开始沿边犃犅 向点犅 以２ｍｍ／ｓ的速度移 动，动点犙从点犅开始沿边犅犆向点犆以４ｍｍ／ｓ的速度 移动，如果犘，犙两点分别从犃，犅 两点同时出发，那么 △犘犅犙的面积犛随出发时间狋如何变化？写出犛关于狋的 函数解析式及狋的取值范围． ５１
9.一辆汽车的行驶距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是15=91+寸心，经过12 ≤汽车行驶了多远？行驳380 m需要多少时间？·10.根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式：(1)(-1,3),(1,3),(2，6);(2)(-1,-1), (0, -2),(1, 1);(3)(-1,0)，(3，0)，（1,—5);(4)(1,2)(3,0),(—220)11.抛物线y=az2+br十c经过（-1，一22），（0，-8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点拓广探索12.如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s.（1）写出滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：S）的函数解析式（提示：本题中，距离一平均（第12题）速度×时间t，="，其中，。是开始时的2速度，，是t秒时的速度，）（2）如果斜面的长是3m，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？R加饭16第二十八章二次函数
!"#$%&"'() ９．一辆汽车的行驶距离狊 （单位：ｍ）关于行驶时间狋 （单位：ｓ）的函数解析式是 狊＝９狋＋１ ２狋２，经过１２ｓ汽车行驶了多远？行驶３８０ｍ需要多少时间？ １０．根据二次函数图象上三个点的坐标，求出函数的解析式： （１）（－１，３），（１，３），（２，６）； （２）（－１，－１），（０，－２），（１，１）； （３）（－１，０），（３，０），（１，－５）； （４）（１，２），（３，０），（－２，２０）． １１．抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮经过 （－１，－２２），（０，－８），（２，８）三点，求它的开 口方向、对称轴和顶点． （第１２题） １２．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每 秒增加１．５ｍ／ｓ． （１）写出滚动的距离狊 （单位：ｍ）关于滚动的时间狋（单 位：ｓ）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平均 速度狏×时间狋，狏＝狏０＋狏狋 ２ ，其中，狏０ 是开始时的 速度，狏狋是狋秒时的速度．） （２）如果斜面的长是３ｍ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？ ６１
28.2二次函数与一元二次方程以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系，先来看下面的问题问题如图28.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线：如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t—5t2.考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到图28.2-120.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t一5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程.如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值解：（1）解方程你能结合图15=20t—5t228.2-1指出为什么t2—4t+3=0.在两个时间小球的t=1,t2-3高度为15m吗？当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.第二十八章二次函数17
书 !"#$%&"'() ２８．２ 二次函数与一元二次方程 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次 方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一 元二次方程的联系．先来看下面的问题． 问题 如图２８．２１，以４０ｍ／ｓ的速度将小球沿与地面成３０°角的方向击出 时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 犺（单位：ｍ）与飞行时间狋（单位：ｓ）之间具有函数关系 犺＝２０狋－５狋２． 考虑以下问题： 图２８．２１ （１）小球的飞行高度能否达到 １５ｍ？如果能，需要多少飞行时间？ （２）小球的飞行高度能否达到 ２０ｍ？如果能，需要多少飞行时间？ （３）小球的飞行高度能否达到 ２０．５ｍ？为什么？ （４）小球从飞出到落地要用多少时间？ 分析：由于小球的飞行高度犺与飞行时间狋有函数关系犺＝２０狋－５狋２，所 以可以将问题中犺的值代入函数解析式，得到关于狋的一元二次方程．如果方 程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中犺的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中犺的值． 你 能 结 合 图 ２８．２１指出为什么 在两个时间小球的 高度为１５ｍ吗？ 解：（１）解方程 １５＝２０狋－５狋２， 狋２－４狋＋３＝０， 狋１＝１，狋２＝３． 当小球飞行１ｓ和３ｓ时，它的飞行高度为１５ｍ． ７１
（2）解方程你能结合图20=20t—5t2,28.2-1指出为什么t2-4t+4=0,只在一个时间小球ti= t2=2.的高度为20m吗？当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.0（3）解方程20.5=20t—5t2,t2—4t+4.1=0.因为（一4)2一4X4.1<0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.（4）小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程0=20t—5t2,t2-4t=0,ti=0,t2=4.当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.从图28.2-1来看，0s时小球从地面飞出，4s时小球落回地面从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切，例如，已知二次函数=一z2十4的值为3，求自变量的值，可以看作解一元二次方程—2十4=3（即2—4十3=0）.反过来，解方程2—4十3=0又可以看作已知二次函数y=2一4r十3的值为0，求自变量x的值一般地，我们可以利用二次函数y=ax?十br十c深入讨论一元二次方程ax?+br+c=0.思考下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当工取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) =r2+r-2;(2)y=2—6r+9;(3) y=r2-+1.18第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 你 能 结 合 图 ２８．２１指出为什么 只在一个时间小球 的高度为２０ｍ吗？ （２）解方程 ２０＝２０狋－５狋２， 狋２－４狋＋４＝０， 狋１＝狋２＝２． 当小球飞行２ｓ时，它的飞行高度为２０ｍ． （３）解方程 ２０．５＝２０狋－５狋２， 狋２－４狋＋４．１＝０． 因为（－４）２－４×４．１＜０，所以方程无实数根．这就是说，小球的飞行高 度达不到２０．５ｍ． （４）小球飞出时和落地时的高度都为０ｍ，解方程 ０＝２０狋－５狋２， 狋２－４狋＝０， 狋１＝０，狋２＝４． 当小球飞行０ｓ和４ｓ时，它的高度为０ｍ．这表明小球从飞出到落地要用 ４ｓ．从图２８．２１来看，０ｓ时小球从地面飞出，４ｓ时小球落回地面． 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函 数狔＝－狓２＋４狓 的值为３，求自变量狓 的值，可以看作解一元二次方程 －狓２＋４狓＝３（即狓２－４狓＋３＝０）．反过来，解方程狓２－４狓＋３＝０又可以看作已 知二次函数狔＝狓２－４狓＋３的值为０，求自变量狓的值． 一般地，我们可以利用二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮深入讨论一元二次方程 犪狓２＋犫狓＋犮＝０． 下列二次函数的图象与狓轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标 是多少？当狓取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相 应的一元二次方程的根吗？ （１）狔＝狓２＋狓－２； （２）狔＝狓２－６狓＋９； （３）狔＝狓２－狓＋１． ８１