这些函数的图象如图28.2-2所示=x2-6x+9y=x2-x+y=x2+x-图28.2-2可以看出：（1）抛物线y=2十一2与轴有两个公共点，它们的横坐标是一2，1：当工取公共点的横坐反过来，由一元标时，函数值是0.由此得出方程2十一2一0的二次方程的根的情况，根是一2，1.也可以确定相应的二（2）抛物线y=26x十9与x轴有一个公共次函数的图象与工轴点，这点的横坐标是3.当=3时，函数值是0的位置关系。由此得出方程z2一6.十9=0有两个相等的实数根3.（3）抛物线=2一十1与轴没有公共点.由此可知，方程2一十1=0没有实数根，归纳一般地，从二次函数y=ax2十br十c的图象可得如下结论（1）如果抛物线y=a2十br十c与轴有公共点，公共点的横坐标是o，那么当x=o时，函数值是0，因此=ro是方程ax2十bx十c=0的一个根，（2）二次函数y=ax2十bx十c的图象与a轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程a2十br十c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根第二十八章二次函数19
!"#$%&"'() 这些函数的图象如图２８．２２所示． y O 1 x y=x2-x+1 y=x2-6x+9 y=x2+x-2 图２８．２２ 可以看出： 反过来，由一元 二次方程的根的情况， 也可以确定相应的二 次函数的图象与狓 轴 的位置关系． （１）抛物线狔＝狓２＋狓－２与狓轴有两个公共 点，它们的横坐标是－２，１．当狓取公共点的横坐 标时，函数值是０．由此得出方程狓２＋狓－２＝０的 根是－２，１． （２）抛物线狔＝狓２－６狓＋９与狓轴有一个公共 点，这点的横坐标是３．当狓＝３时，函数值是０． 由此得出方程狓２－６狓＋９＝０有两个相等的实数 根３． （３）抛物线狔＝狓２－狓＋１与狓 轴没有公共 点．由此可知，方程狓２－狓＋１＝０没有实数根． 一般地，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象可得如下结论． （１）如果抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴有公共点，公共点的横坐标 是狓０，那么当狓＝狓０时，函数值是０，因此狓＝狓０是方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０ 的一个根． （２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴的位置关系有三种：没 有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程犪狓２＋ 犫狓＋犮＝０的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个 不等的实数根． ９１
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的例利用函数图象求方程买2一2工一2一0的y=x2-2x-2实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数=2一2x一2的图象（图(-0.7,0)(2.7,0)28.2-3），它与轴的公共点的横坐标天约是-101230.7,2.7.所以方程2—2—2=0的实数根为1~0.7，X2~2.7图28.2-3我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根观察函数y=r2一2一2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，一2）在7轴的下方），当自变量为3时的函数值天于0（点（3，1）在轴的上方）因为抛物线y=x2一2x一2是一条连续不断的曲线，所以抛物线=r2-2一2在2<<3这一段经过x轴也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程2一2x一2=0在2，3之间有根，我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为一0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间.再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间..可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值，例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|一0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2一2x一2=0的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程20第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．由于 作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的． y -1 1 2 3 x (-0.7,0) (2.7,0) O y= x2 2 2 x 图２８．２３ 例 利用函数图象求方程狓２－２狓－２＝０的 实数根 （结果保留小数点后一位）． 解：画出函数狔＝狓２－２狓－２的图象 （图 ２８．２３），它与狓 轴的公共点的横坐标大约是 －０．７，２．７． 所以方程狓２－２狓－２＝０的实数根为 狓１≈－０．７，狓２≈２．７． 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根． 观察函数狔＝狓２－２狓－２的图象，可以发现，当自变量为２时的函数值小于 ０（点 （２，－２）在狓轴的下方），当自变量为３时的函数值大于０ （点 （３，１） 在狓轴的上方）．因为抛物线狔＝狓２－２狓－２是一条连续不断的曲线，所以抛 物线狔＝狓２－２狓－２在２＜狓＜３这一段经过狓轴．也就是说，当自变量取２， ３之间的某个值时，函数值为０，即方程狓２－２狓－２＝０在２，３之间有根． 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如，取２，３的 平均数２．５，用计算器算得自变量为２．５时的函数值为－０．７５，与自变量为３ 时的函数值异号，所以这个根在２．５，３之间．再取２．５，３的平均数２．７５，用 计算器算得自变量为２．７５时的函数值为０．０６２５，与自变量为２．５时的函数值 异号，所以这个根在２．５，２．７５之间． 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在２．６２５，２．７５之间，在２．６８７５， ２．７５之间.可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越 来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．例如，当要求根的近似值与根的 准确值的差的绝对值小于０．１时，由于｜２．６８７５－２．７５｜＝０．０６２５＜０．１，我们 可以将２．６８７５作为根的近似值． 你能用这种方法得出方程狓２－２狓－２＝０的另一个根的近似值吗 （要求根 的近似值与根的准确值的差的绝对值小于０．１）？ 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程． ０２
习题28.2复习巩固1.已知函数y=12—4r十3.（1）画出这个函数的图象：（2）观察图象，当取哪些值时，函数值为0？2.用函数的图象求下列方程的解：(1)r2-3r+20;(2)—r2-6r—9=0.综合运用3.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离工（单位：m）1,2+2,+5之间的关系是y一12r*++号（1）画出上述函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离4.抛物线y=ar2十br十c与r轴的公共点是（一1，0），（第3题）（3，0），求这条抛物线的对称轴拓广探索5.画出函数V一2一2r一3的图象，利用图象回答：（1）方程x2一21一3=0的解是什么？（2）工取什么值时，函数值大于0？（3）工取什么值时，函数值小于0？6.如果a>0，抛物线y=ar2十bx十c的顶点在什么位置时，1）方程ar2十br十c0有两个不等的实数根？R（2）方程ar2十br十c=0有两个相等的实数根？（3）方程ar2+br十c=0无实数根？饭如果a<o呢？第二十八章二次函数21
书 !"#$%&"'() 习题２８．２ １．已知函数狔＝狓２－４狓＋３． （１）画出这个函数的图象； （２）观察图象，当狓取哪些值时，函数值为０？ ２．用函数的图象求下列方程的解： （１）狓２－３狓＋２＝０； （２）－狓２－６狓－９＝０． ３．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度狔 （单位：ｍ）与水平距离狓 （单位：ｍ） y x （第３题） 之间的关系是狔＝－１ １２狓２＋２ ３狓＋５ ３． （１）画出上述函数的图象； （２）观察图象，指出铅球推出的距离． ４．抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓 轴的公共点是（－１，０）， （３，０），求这条抛物线的对称轴． ５．画出函数狔＝狓２－２狓－３的图象，利用图象回答： （１）方程狓２－２狓－３＝０的解是什么？ （２）狓取什么值时，函数值大于０？ （３）狓取什么值时，函数值小于０？ ６．如果犪＞０，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点在什么位置时， （１）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不等的实数根？ （２）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个相等的实数根？ （３）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０无实数根？ 如果犪＜０呢？ １２
信息技术应用探索二次函数的性质用某些计算机画图软件，可以方便地画出二次函数的图象，进面从图象探索二次函数的性质，如图1，用计算机软件画出函数y=r2一2α一3的图象，拖动图象上的2一点P，让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：(1, -4)图象最低点的坐标是（1，一4)，也就是说，当=1图1时，y有最小值一4；当r<1时，v随r的增大而减小，当>时，v随工的增大而增大又如图2，用计算机软件画出函数y=一2一4r一3的图象，拖动图象上的一点P，可以发现：图象最高点的坐标是（一2，1)，也就是说，当=一2时，y有最大值1；当r<-2时，y随z的增大而增大，当r>一2时，y随工的增大而减小借助计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程，要解方程ar2十br十c一0，只要用计算机软件画出相应抛物线y=ar?十br十c，再让计算机软件显示抛物线与工轴的公共点的坐标，就能得出图2要求的方程的根.利用图1、图2中的图象试一试，分别求出方程2—2—3=0，—2—4—3=0的根OR名饭22第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 探索二次函数的性质 (1-4) y O x P 图１ 用某些计算机画图软件，可以方便地画出二次函数 的图象，进而从图象探索二次函数的性质．如图１，用计 算机软件画出函数狔＝狓２－２狓－３的图象，拖动图象上的 一点犘，让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可 以发现： 图象最低点的坐标是（１，－４），也就是说，当狓＝１ 时，狔有最小值－４； 当狓＜１时，狔随狓的增大而减小，当狓＞１时，狔随狓的增大而增大． 又如图２，用计算机软件画出函数狔＝－狓２－４狓－３的图象，拖动图象上的一点犘， 可以发现： (-21) y O x P 图２ 图象最高点的坐标是（－２，１），也就是说，当狓＝－２ 时，狔有最大值１； 当狓＜－２时，狔随狓的增大而增大，当狓＞－２时， 狔随狓的增大而减小． 借助计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数 的图象解一元二次方程．要解方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０，只要 用计算机软件画出相应抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮，再让计 算机软件显示抛物线与狓轴的公共点的坐标，就能得出 要求的方程的根．利用图１、图２中的图象试一试，分别 求出方程狓２－２狓－３＝０，－狓２－４狓－３＝０的根． ２２
28.3二次函数与实际问题对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h=30t一5t2（0<t<6）小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？可以借助函数图象解决这个问题.画出函数h=30t—5t2（0<t≤6）的图象（图28.3-1）可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的h/m一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值2030b因此，当t2x(-5)=3时，h有2a-t/s456234ac-62—302最大值=45.也就是说，小球4X(-5)4a图28.3-1运动的时间是3s时，小球最高.小球运动中的最大高度是45m.一般地，当a>0(a<0）时，抛物线y=az2+bx十c的顶点是最低（高）点：4ac-62b时，二次函数y=ax2十br十c有最小（大）值也就是说，当2a4a我们再来解决一些实际问题.探究1用总长为60m的篱色围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？第二十八章二次函数23
!"#$%&"'() ２８．３ 二次函数与实际问题 对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻 画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究． 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度犺 （单位：ｍ）与小球的 运动时间狋 （单位：ｓ）之间的关系式是犺＝３０狋－５狋２ （０≤狋≤６）．小球运动的 时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ O t/s h/m 5 20 40 64321 图２８．３１ 可以借助函数图象解决这个问题．画出函数 犺＝３０狋－５狋２（０≤狋≤６）的图象 （图２８．３１）． 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的 一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的 最高点，也就是说，当狋取顶点的横坐标时，这 个函数有最大值． 因此，当狋＝－犫 ２犪＝－ ３０ ２×（－５）＝３时，犺有 最大值４犪犮－犫２ ４犪 ＝ －３０２ ４×（－５）＝４５．也就是说，小球 运动的时间是３ｓ时，小球最高．小球运动中的最 大高度是４５ｍ． 一般地，当犪＞０（犪＜０）时，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点是最低 （高）点， 也就是说，当狓＝－犫 ２犪 时，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮有最小 （大）值４犪犮－犫２ ４犪 ． 我们再来解决一些实际问题． 用总长为６０ｍ的篱笆围成矩形场地，矩形面积犛随矩形一边长犾的 变化而变化．当犾是多少米时，场地的面积犛最大？ ３２