思考抛物线y=a（x一h）2与抛物线y=ar?有什么关系？练习在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：1-(r+2),y=—2)2V=ry=2观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点例3画出函数y（十1)2一1的图象，并指出它的开口方向、对称21(+1)2-1轴和顶点.怎样移动抛物线y2”就可以得到抛物线y21解：函数y=（x+1)2-1的图象如图28.1-8所示4xo(x+1)21图28.1-8抛物线y（1十1）2一1的开口向下，对称轴是x=一1，顶点是(-1.-1)1把抛物线=2向下平移1个单位长度，222还有其他平移方法吗？再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y=12(r+1)2-1.9第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 抛物线狔＝犪（狓－犺）２与抛物线狔＝犪狓２有什么关系？ 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 狔＝１ ２狓２，狔＝１ ２（狓＋２）２，狔＝１ ２（狓－２）２． 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 例３ 画出函数狔＝－１ ２（狓＋１）２－１的图象，并指出它的开口方向、对称 轴和顶点．怎样移动抛物线狔＝－１ ２狓２就可以得到抛物线狔＝－１ ２（狓＋１）２－１？ 解：函数狔＝－１ ２（狓＋１）２－１的图象如图２８．１８所示． y -4 -2 O 42 -2 -4 y= x2 2 1 1 y= x2 2 1 y= (x+1)2 2 1 1 x 图２８．１８ 抛物线狔＝－１ ２（狓＋１）２－１的开口向下，对称轴是狓＝－１，顶点是 （－１，－１）． 还有其他平移 方法吗？ 把抛物线狔＝－１ ２狓２向下平移１个单位长度， 再向左平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝ －１ ２（狓＋１）２－１． ９
归纳般地，抛物线y=a（a一h）2十k与y=ar2形状相同，位置不同.把-抛物线y=ar2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（r一h）2十k.平移的方向、距离要根据h，k的值来决定，抛物线y=a（r一h）2十k有如下特点：（1）当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下.（2）对称轴是=h.(3）顶点是（h，k）.从二次函数y=a（r一h）?+k的图象可以看出：如果a>0，当<h时，随x的增大而减小，当x>h时，随的增大而增大；如果a<o，当r<h时，y随x的增大而增大，当>h时，y随的增大而减小我们来看一个与章前图有关的问题例4要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？解：如图28.1-9，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系y/mt(1, 3)3x/m图28.1-9点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是y=a(x-1)2+3(0<r<3).由这段抛物线经过点（3，0），可得0=a(3—1)+3.10第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 一般地，抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽与狔＝犪狓２形状相同，位置不同．把 抛物线狔＝犪狓２向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽． 平移的方向、距离要根据犺，犽的值来决定． 抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽有如下特点： （１）当犪＞０时，开口向上；当犪＜０时，开口向下． （２）对称轴是狓＝犺． （３）顶点是 （犺，犽）． 从二次函数狔＝犪（狓－犺）２＋犽的图象可以看出：如果犪＞０，当狓＜犺时，狔 随狓的增大而减小，当狓＞犺时，狔随狓的增大而增大；如果犪＜０，当狓＜犺 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞犺时，狔随狓的增大而减小． 我们来看一个与章前图有关的问题． 例４ 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为１ｍ处达 到最高，高度为３ｍ，水柱落地处离池中心３ｍ，水管应多长？ 解：如图２８．１９，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直 线为狓轴，水管所在直线为狔轴，建立直角坐标系． O x /m y /m 1 3 1 2 3 3 2 1 图２８．１９ 点 （１，３）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解 析式是 狔＝犪（狓－１）２＋３（０≤狓≤３）． 由这段抛物线经过点（３，０），可得 ０＝犪（３－１）２＋３， ０１
解得34因此3—1)2+3(0≤x≤3)当=0时，y=2.25，也就是说，水管应2.25m长练习说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：(1)y=2(r+3)2+5;(2) y=—3(r-1)2-2;(4) y=—5(r+2)2-6.(3) y=4(r—3)2+7;28. 1.4二次函数y=ar?+br十c的图象和性质12-6r+21的图象和性质，先研究一个具体的二次函数2思考我们已经知道二次函数y=a（一h）?+k的图象和性质，能否利用这2-6元十21的图象和性质？些知识来讨论二次函数y2配方可得：1-6+21V216)2 +3.(72还有其他平移根据前面的知识，我们可以先画出二次函数方法吗？-2的图象，然后把这个图象向右平移6个y2单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y—6.x+21的图象2第二十八章二次函数11
!"#$%&"'() 解得 犪＝－３ ４． 因此 狔＝－３ ４（狓－１）２＋３（０≤狓≤３）． 当狓＝０时，狔＝２．２５，也就是说，水管应２．２５ｍ长． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝２（狓＋３）２＋５； （２）狔＝－３（狓－１）２－２； （３）狔＝４（狓－３）２＋７； （４）狔＝－５（狓＋２）２－６． ２８．１．４ 二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质 先研究一个具体的二次函数狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的图象和性质． 我们已经知道二次函数狔＝犪（狓－犺）２＋犽的图象和性质，能否利用这 些知识来讨论二次函数狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的图象和性质？ 还有其他平移 方法吗？ 配方可得： 狔＝１ ２狓２－６狓＋２１ ＝１ ２（狓－６）２＋３． 根据前面的知识，我们可以先画出二次函数 狔＝１ ２狓２的图象，然后把这个图象向右平移６个 单位长度，再向上平移３个单位长度，得到二次 函数狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的图象． １１
如果直接画二次函数y-6.1十21的图象，可按如下步骤进行126.十21的顶点是（6，3)，对称轴由配方的结果可知，抛物线V是x=6.先利用图象的对称性列表：1356489r7.553.53.5537.56)2+316)2+3的图象（图28.1-10），然后描点画图，得到y-2X106x+213)(6,100图28.1-101从图28.1-10中二次函数y-6.元十21的图象可以看出：在对称轴的22左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升，也就是说，当<6时，随的增大而减小；当6时，随的增大而增大探究你能用上面的方法讨论二次函数y=一2?一4x十1的图象和性质吗？般地，二次函数y=a?十br十c可以通过配方化成y=a（r一h）2十k的形式，即b2,4ac-62v=a(x24abb4ac--6顶点是(因此，抛物线y=ar2+br十c的对称轴是r2a'2a'4a12第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 如果直接画二次函数狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的图象，可按如下步骤进行． 由配方的结果可知，抛物线狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的顶点是（６，３），对称轴 是狓＝６． 先利用图象的对称性列表： 狓 . ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ . 狔＝１ ２（狓－６）２＋３ . ７．５ ５ ３．５ ３ ３．５ ５ ７．５ . 然后描点画图，得到狔＝１ ２（狓－６）２＋３的图象 （图２８．１１０）． y O 5 10 x 2 1 y= x2 6 +21 x (63) 5 10 图２８．１１０ 从图２８．１１０中二次函数狔＝１ ２狓２－６狓＋２１的图象可以看出：在对称轴的 左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是 说，当狓＜６时，狔随狓的增大而减小；当狓＞６时，狔随狓的增大而增大． 你能用上面的方法讨论二次函数狔＝－２狓２－４狓＋１的图象和性质吗？ 一般地，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮可以通过配方化成狔＝犪（狓－犺）２＋犽 的形式，即 狔＝犪（狓＋犫 ２犪）２ ＋４犪犮－犫２ ４犪 ． 因此，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的对称轴是狓＝－犫 ２犪，顶点是（－犫 ２犪，４犪犮－犫２ ４犪 ）． ２１
如图28.1-11，从二次函数y=a2十bx十c的图象可以看出：b6如果a>0，当<一时，随的增大而减小，当>一时，y随2a2a的增大而增大；66如果a<o，当r<时，随工的增大而增大，当时，随2a2a的增大而减小b2ay=ax2+bx+c(a>0)xy=ax2+bx+c(a<0)b2a(1)(2)图28.1-11练习写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：(1）y=3r2+2;(2)y=—r2—2r;1(3)y=-22+8r-8;-4r+3.(4) y=7*2探究*我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式，对于二次函数，探究下面的问题：（1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？（2）如果一个二次函数的图象经过（一1，10），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.*本部分内容为选学内容第二十八章二次函数13
!"#$%&"'() 如图２８．１１１，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象可以看出： 如果犪＞０，当狓＜－犫 ２犪 时，狔随狓的增大而减小，当狓＞－犫 ２犪 时，狔随狓 的增大而增大； 如果犪＜０，当狓＜－犫 ２犪 时，狔随狓的增大而增大，当狓＞－犫 ２犪 时，狔随狓 的增大而减小． O x y y=ax2+bx+c x=- b 2a (a !0) O x y y=ax2+bx+c x=- b 2a (a 0) （１） （２） 图２８．１１１ 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝３狓２＋２狓； （２）狔＝－狓２－２狓； （３）狔＝－２狓２＋８狓－８； （４）狔＝１ ２狓２－４狓＋３． 我们知道，由两点 （两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一 次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，探究下面的 问题： （１）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （２）如果一个二次函数的图象经过 （－１，１０），（１，４），（２，７）三 点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解 析式． ３１ 本部分内容为选学内容．