根据表中z，y的数值在坐标平面中描点（x，y）（图28.1-2)，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=12的图象（图28.1-3）19yt9还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？O图28.1-2图28.1-3可以看出，二次函数y=2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=?实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下一般地，二次函数y=ax?+br十c的图象叫做抛物线y=ar2+b+c.还可以看出，y轴是抛物线y=2的对称轴，抛物线=2与它的对称轴的交点（O，0）叫做在抛物线y=rz抛物线y=?的顶点，它是抛物线y=2的最低上任取一点（m，m2）,点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与因为它关于y轴的对称点（一m，m2）也在对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线抛物线y=r2上，所以的最低点或最高点抛物线y=r?关于y从二次函数y三?的图象可以看出：在对称轴轴对称.的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧抛物线从左到右上升也就是说：当工<0时，y随的增大而减小；当>o时，y随的增大而增大1例1在同一直角坐标系中，画出函数y，y=22的图象1解：分别列表，再画出它们的图象（图28.1-4)4第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 根据表中狓，狔的数值在坐标平面中描点（狓，狔）（图２８．１２），再用平滑 曲线顺次连接各点，就得到狔＝狓２的图象（图２８．１３）． 还记得如何用 描点法画一个函数 的图象吗？ O x y -3 3 3 6 9 O x y -3 3 3 6 9 y=x2 图２８．１２ 图２８．１３ 可以看出，二次函数狔＝狓２ 的图象是一条曲 线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上．这条曲 线叫做抛物线狔＝狓２．实际上，二次函数的图象 都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一 般地，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象叫做抛物 线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮． 在抛物线狔＝狓２ 上任取一点（犿，犿２）， 因为它关于狔 轴的对 称点（－犿，犿２）也在 抛物线狔＝狓２上，所以 抛物线狔＝狓２ 关于狔 轴对称． 还可以看出，狔轴是抛物线狔＝狓２的对称轴， 抛物线狔＝狓２ 与它的对称轴的交点 （０，０）叫做 抛物线狔＝狓２的顶点，它是抛物线狔＝狓２ 的最低 点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与 对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线 的最低点或最高点． 从二次函数狔＝狓２的图象可以看出：在对称轴 的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧， 抛物线从左到右上升．也就是说，当狓＜０时， 狔随狓的增大而减小；当狓＞０时，狔随狓的增大 而增大． 例１ 在同一直角坐标系中，画出函数狔＝１ ２狓２，狔＝２狓２的图象． 解：分别列表，再画出它们的图象（图２８．１４）． ４
3-202A114.50.50.5024.5O.20.50.51.5-1.5014.50.50.54.5y=2rC4图28.1-4思考(1）函数V，y=22的图象与函数y2（图28.1-4中的虚线图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？（2）当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？一般地，当a>o时，抛物线y=ar2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，α越大，抛物线的开口越小类似地，我们可以研究当a<o时，二次函数y=a.r2的图象和性质，探究512,y=-2元2（1）在同一直角坐标系中，画出函数y=一2，y一的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？你画出的图象与图28.1-5中的图象相同吗？一般地，当a<o时，抛物线yar2的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，α越小，抛物线的开口越小图28.1-55第二十八章二次函数
!"#$%&"'() O x y -2 y=2x2 -4 42 2 4 6 8 2 1 y= x2 图２８．１４ 狓 . －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ . 狔＝１ ２狓２ . ８ ４．５ ２ ０．５ ０ ０．５ ２ ４．５ ８ . 狓 . －２－１．５－１－０．５ ０ ０．５ １ １．５ ２ . 狔＝２狓２ . ８ ４．５ ２ ０．５ ０ ０．５ ２ ４．５ ８ . （１）函数狔＝１ ２狓２，狔＝２狓２的图象与函数狔＝狓２（图２８．１４中的虚线 图形）的图象相比，有什么共同点和不同点？ （２）当犪＞０时，二次函数狔＝犪狓２的图象有什么特点？ 一般地，当犪＞０时，抛物线狔＝犪狓２的开口向上，对称轴是狔轴，顶点 是原点，顶点是抛物线的最低点，犪越大，抛物线的开口越小． 类似地，我们可以研究当犪＜０时，二次函数狔＝犪狓２的图象和性质． （１）在同一直角坐标系中，画出函数狔＝－狓２，狔＝－１ ２狓２，狔＝－２狓２ 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． （２）当犪＜０时，二次函数狔＝犪狓２的图象有什么特点？ O x y -4 42 -2 -2 -4 -6 -8 2 1 y= x2 y= 2x2 y= x2 图２８．１５ 你画出的图象与图２８．１５中的图象相同吗？ 一般地，当犪＜０时，抛物线狔＝犪狓２的开口 向下，对称轴是狔轴，顶点是原点，顶点是抛物 线的最高点，犪越小，抛物线的开口越小． ５
归纳般地，抛物线ya2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点：对于抛物线y=ar，la越大，抛物线的开口越小，从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a>o，当r<o时，y随的增大而减小，当>0时，随的增大而增大；如果a<o，当<o时，y随工的增大而增大，当>0时，y随的增大而减小练习说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：(1) y=3r2;(2)y=—3;(3) yr2(4) y=3428.1.3二次函数y=a（r一h）2+k的图象和性质例2在同一直角坐标系中，画出二次函数=2元2十1，y=2元2—1的图象.解：先列表：=2x2+10.5-1.50.501.5125.51.51.5y=22+1335.599J=2x2-13.5V=22-0.50.53.5然后描点画图，得=2元2+1，=2±2-1的图象（图28.1-6）-3-2-10123x-2F图28.1-66第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 一般地，抛物线狔＝犪狓２的对称轴是狔轴，顶点是原点．当犪＞０时， 抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当犪＜０时，抛物线的开口 向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线狔＝犪狓２，犪 越大，抛物线的 开口越小． 从二次函数狔＝犪狓２的图象可以看出：如果犪＞０，当狓＜０时，狔随狓的 增大而减小，当狓＞０时，狔随狓的增大而增大；如果犪＜０，当狓＜０时，狔随 狓的增大而增大，当狓＞０时，狔随狓的增大而减小． 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （１）狔＝３狓２； （２）狔＝－３狓２； （３）狔＝１ ３狓２； （４）狔＝－１ ３狓２． ２８．１．３ 二次函数狔＝犪（狓－犺）２＋犽的图象和性质 例２ 在同一直角坐标系中，画出二次函数狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的 图象． 解：先列表： y=2x2 +1 y=2x2-1 x y O 2 4 6 8 10 -2 -3 -2 -1 21 3 图２８．１６ 狓 . －２－１．５－１－０．５ ０ ０．５ １ １．５ ２ . 狔＝２狓２＋１. ９ ５．５ ３ １．５ １ １．５ ３ ５．５ ９ . 狔＝２狓２－１. ７ ３．５ １ －０．５－１－０．５１ ３．５ ７ . 然后描点画图，得狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的图 象 （图２８．１６）． ６
思考（1）抛物线y=2z2十1，y=2元2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（2）抛物线y=2元2+1，y=221与抛物线y=22有什么关系？可以发现，把抛物线y=2元2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y=22+1；把抛物线y=22向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=22-1.思考抛物线y=ar?+k与抛物线y=ar?有什么关系？练习在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：112+2，y.2-2y==2元212观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，你能/-有r?+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y说出抛物线y2a什么关系？探究7(x-1)2(X+1)2.y=在同一直角坐标系中，画出二次函数V2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，先分别列表：02-4-3-2-1...I21(r+1)2-4.5-2-0.5-0.5-2-4.5...0127第二十八章二次函数
!"#$%&"'() （１）抛物线狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１的开口方向、对称轴和顶点各是 什么？ （２）抛物线狔＝２狓２＋１，狔＝２狓２－１与抛物线狔＝２狓２有什么关系？ 可以发现，把抛物线狔＝２狓２ 向上平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝ ２狓２＋１；把抛物线狔＝２狓２向下平移１个单位长度，就得到抛物线狔＝２狓２－１． 抛物线狔＝犪狓２＋犽与抛物线狔＝犪狓２有什么关系？ 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 狔＝１ ２狓２，狔＝１ ２狓２＋２，狔＝１ ２狓２－２． 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．你能 说出抛物线狔＝１ ２狓２＋犽的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线狔＝１ ２狓２ 有 什么关系？ 在同一直角坐标系中，画出二次函数狔＝－１ ２（狓＋１）２，狔＝－１ ２（狓－１）２ 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点． 先分别列表： 狓 . －４ －３ －２ －１ ０ １ ２ . 狔＝－１ ２（狓＋１）２ . －４．５ －２ －０．５ ０ －０．５ －２ －４．５ . ７
23201Aa2-4.5-0.50-0.5八4.5-1)2V(x+1)2, y然后描点画图，得y—1)2的图象（图28.1-7）7x+1)(x-1)图28.1-7可以看出，抛物线y=（r十1)2的开口向下，对称轴是经过点（一1，0）且与轴垂直的直线，把它记作z=一1，顶点是（一1，0）；抛物线y=（一1)的开口向下，对称轴是=1，顶点是（1，0）思考(r+1), y2有什（-1)2与抛物线y=抛物线y=2么关系？12向左平移1个单位长度，就得到抛物线可以发现，把抛物线y=S12向右平移1个单位长度，就得到抛物（r+1)2；把抛物线y=:21线y=-1)2(r8第二十八章二次函数
!"#$%&"'() 狓 . －２ －１ ０ １ ２ ３ ４ . 狔＝－１ ２（狓－１）２ . －４．５ －２ －０．５ ０ －０．５ －２ －４．５ . 然后描点画图，得狔＝－１ ２（狓＋１）２，狔＝－１ ２（狓－１）２的图象 （图２８．１７）． y -4 -2 O 42 -2 -4 y= (x+1)2 2 1 y= (x-1)2 2 1 x= 1 x x=1 图２８．１７ 可以看出，抛物线狔＝－１ ２（狓＋１）２的开口向下，对称轴是经过点（－１，０） 且与狓轴垂直的直线，把它记作狓＝－１，顶点是（－１，０）；抛物线狔＝ －１ ２（狓－１）２的开口向下，对称轴是狓＝１，顶点是 （１，０）． 抛物线狔＝－１ ２（狓＋１）２，狔＝－１ ２（狓－１）２与抛物线狔＝－１ ２狓２有什 么关系？ 可以发现，把抛物线狔＝－１ ２狓２ 向左平移１个单位长度，就得到抛物线 狔＝－１ ２（狓＋１）２ ；把抛物线狔＝－１ ２狓２ 向右平移１个单位长度，就得到抛物 线狔＝－１ ２（狓－１）２． ８