本节提要 11 口问题1：什么是代数系统？ 口非空集合+封闭的（二元）运算 口问题2：代数系统相关性质？ 口问题3：什么是群？ ▣问题4：群具有哪些性质？
本节提要 问题1：什么是代数系统？ 非空集合+封闭的(二元)运算 问题2：代数系统相关性质？ 问题3：什么是群？ 问题4：群具有哪些性质？ 11
结合性(associativity) 口集合A上的运算。具有结合性定义为： Vx,y,ZEA,(xoy)oz=x(yo z) 口如果o满足结合性，表达式x1。X2。…oXn可以在 保持诸x;先后次序不变的前提下按照任何顺序进 行计算
结合性（associativity） 集合𝐴上的运算∘具有结合性定义为： ∀𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨, 𝒙 ∘ 𝒚 ∘ 𝒛 = 𝒙 ∘ 𝒚 ∘ 𝒛 如果∘满足结合性，表达式𝑥1 ∘ 𝑥2 ∘ ⋯ ∘ 𝑥𝑛可以在 保持诸𝑥𝑖先后次序不变的前提下按照任何顺序进 行计算 12
交换性(commutativity) 集合A上的运算具有交换性定义为： VX,y∈A,Xoy=yox 口如果o同时满足交换律和结合律，表达式x1。 x2。…。xn可以按照任何顺序进行计算，包括可 以随便重新排列诸x:的先后次序
集合𝐴上的运算∘具有交换性定义为： ∀𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨, 𝒙 ∘ 𝒚 = 𝒚 ∘ 𝒙 如果∘同时满足交换律和结合律，表达式𝑥1 ∘ 𝑥2 ∘ ⋯ ∘ 𝑥𝑛可以按照任何顺序进行计算，包括可 以随便重新排列诸𝑥𝑖的先后次序 13 交换性（commutativity）
分配性(distributivity) 口分配性涉及两个不同的运算 口集合A上的运算。对*满足分配性定义为： Vx,y,ZEA,xo(y*z)=(xoy)*(xoZ)
分配性（distributivity） 分配性涉及两个不同的运算 集合𝐴上的运算∘对∗满足分配性定义为： ∀𝒙,𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨, 𝒙 ∘ 𝒚 ∗ 𝒛 = 𝒙 ∘ 𝒚 ∗ (𝒙 ∘ 𝒛) 14
单位元(identity element) 口元素是代数系统(S,)的单位元当且仅当 VX∈S,eox=xoe=X ▣单位元可记为1s,或简记为1（读作幺) 口代数系统不一定有单位元 口例： 口对于实数集R上的普通乘法()，实数1满足对任意实数 x∈R,有1·x=x·1
元素𝒆是代数系统 𝑆, ∘ 的单位元当且仅当 ∀𝒙 ∈ 𝑺, 𝒆 ∘ 𝒙 = 𝒙 ∘ 𝒆 = 𝒙 单位元可记为𝟏𝑆，或简记为𝟏（读作幺） 代数系统不一定有单位元 例： 对于实数集ℝ上的普通乘法(⋅)，实数1满足对任意实数 𝑥 ∈ ℝ，有1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 ⋅ 1 15 单位元（identity element）