运算表 通常用于定义有限集合（一般元素很少）上的一 元或二元运算（如在集合{a,b,c,d上定义如下的运算*） a b d 米 a 1 ⑧ M b & 6 K M 7 6 0 口 d G
通常用于定义有限集合(一般元素很少)上的一 元或二元运算 (如在集合{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}上定义如下的运算∗) * a b c d a 1 M b & 6 K M c 7 6 Q 0 d G # ~ 6 运算表
运算的封闭性 口对于运算f:An→B,若B二A,则称该运算在集 合A上封闭(closeness) 口例： 口加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭 口减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭 口对集合A={1,2,3,…,10},gcd运算封闭，1cm则否
对于运算𝑓:𝐴 𝑛 → 𝐵 ，若𝑩 ⊆ 𝑨，则称该运算在集 合𝐴上封闭（closeness） 例： 加法在自然数集上封闭，但减法在自然数集上不封闭 减法在整数集上封闭，但除法在整数集上不封闭 对集合𝐴 = {1,2,3, ⋯ , 10}，gcd运算封闭，lcm则否 7 运算的封闭性
例：证明运算封闭 普通加法在正整数集之子集A={n9|21n}上 封闭 口证明： ▣设x,y是A中任意元素，存在卫，q∈Z+,满足： 21x=9p,21y=9q,则21(x+y)=9(p+q), 由于p+q∈Z+,故9|21(x+y),即x+yEA.口
普通加法在正整数集之子集𝑨 = 𝒏 𝟗|𝟐𝟏𝒏 上 封闭 证明： 设𝑥, 𝑦是𝐴中任意元素，存在𝑝, 𝑞 ∈ ℤ +，满足： 21𝑥 = 9𝑝，21𝑦 = 9𝑞，则21 𝑥 + 𝑦 = 9(𝑝 + 𝑞)， 由于𝑝 + 𝑞 ∈ ℤ +，故9|21(𝑥 + 𝑦)，即𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐴. □ 8 例：证明运算封闭
代数系统（简称代数） 口定义（代数系统)： 口给定1个非空集合（其元素可以是任何对象)； 口给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1个 二元运算的情况)； 口运算对上述集合封闭. 口记法：(S,) 口例子： 口整数集与普通加法：（亿，+〉构成代数系统
代数系统（简称代数） 定义（代数系统）： 给定1个非空集合（其元素可以是任何对象）； 给定1个或者若干个运算（以下主要讨论存在1个 二元运算的情况）； 运算对上述集合封闭. 记法： 𝑺, ∘ 例子： 整数集与普通加法： ℤ, + 构成代数系统 9
例：一个较复杂的代数系统 ▣设集合S=R一{0,1}，定义S上的6个函数如下： ▣f1(x)=X, f2(x)=(1-x)-1 ▣f3(x)=x-1(x-1),f4(x)=x-1 ▣f5(x)=x(x-1)-1,f6(x)=1-x ▣则({f,f2,f3,f4,f5,f6},〉是代数系统，其中o是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如：f2of3=f1,∫4f5=f2 f3°f6=f4等
设集合𝑆 = ℝ − {0,1} ，定义𝑆上的6个函数如下： 𝑓1 𝑥 = 𝑥, 𝑓2 𝑥 = 1 − 𝑥 −1 𝑓3 𝑥 = 𝑥 −1 𝑥 − 1 , 𝑓4 𝑥 = 𝑥 −1 𝑓5 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 −1 , 𝑓6 𝑥 = 1 − 𝑥 则 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, 𝑓4, 𝑓5, 𝑓6 , ∘ 是代数系统，其中∘是函数的 复合运算 只需考虑运算的封闭性。例如：𝒇𝟐 ∘ 𝒇𝟑 = 𝒇𝟏 , 𝒇𝟒 ∘ 𝒇𝟓 = 𝒇𝟐 , 𝒇𝟑 ∘ 𝒇𝟔 = 𝒇𝟒等 10 例：一个较复杂的代数系统