第九节曲率 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 巴四、小结思考题
、弧微分 c设函数f(x)在区间a,) 内具有连续导数 M R 基点:A(x0,yV0), 庄Mx为任意一点,x x+△x 王规定(曲线的正向与增大的方向一数 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号 上页
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
王 y 王单调增函数=(x) R 设N(x+△x,y+△y,如图, ox x+△xx MNMM+N7当△x→0时, △ MN=√(△)+(4y)2=1+(4)△x→l+y2c, =△s→db, MT=x)2+(y)2=1+y2d, cM=Ay-d→0,故=+p”1,孤微分公式 庄“为单调增数,故y 上页
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 △a 2 △s M △S M M △S1 △S,/N △a 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 上页
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, 庄M是基点M=△ M 王M→M切线转角为a.Sm见一 午定义 牛弧段M的平均曲率为k=Aa △ 王曲线C在点从处的曲率K=km△ 王在m △adc =存在的条件下,K= da △s->0△sd ds 上页
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =