Lutwak的对偶 Brunn-Minkowski理论 K 截面函数 Sx(l)=(K∩) Px(v)di Funk截面定理 对于原点对称的星形体K和L Sk(=s1uV→K=L 2021/2/
2021/2/1 11 Lutwak的对偶 Brunn-Minkowski 理论 ( ) ( ) ⊥ sK u =V K u s (u) s (u) u K L. K = L = Funk 截面定理: 对于原点对称的星形体K 和 L, 截面函数 ⊥ u K − ⊥ − − = S u n K n v dv n 1 1 ( ) 1 1
截面体 (ntersection Bodies PI=SK 2021/2/
2021/2/1 12 截 面 体 (Intersection Bodies) IK K = s
Lp- Brunn- Minkowski理论 设K,L是中的两个凸体,h,h分别表示它们的支撑 函数,则K与L的Lp- Minkowski组和定义为 h'k+,L(u)=hk(uthe(u) P混合体积定义为 y(K+, EL)-v(K) V,(K, L)=lim 2021/2/
2021/2/1 13 Lp- Brunn-Minkowski理论 • 设K，L是中的两个凸体， 分别表示它们的支撑 函数，则K与L的Lp-Minkowski组和定义为 hK hL , h (u) h (u) h L (u). p K p K L p + p = + • P-混合体积定义为 . ( ) ( ) ( , ) lim V K L V K V K L p o p + − = → +
·Lp面积测度( E Lutwak,1993) 设K,L是R"中的两个凸体,则Sn上存在测度S2(K) 使得K与L的p-混合体积可表示为 V,(K, L)=h,(u)ds,(K, u) p- Minkowski问题:在S"上给定一个 Borel测 度μ,给出μ所需要满足的充分必要条件使得 存在一个包含原点为内点的凸体K且 Sn(K。·)= 2021/2/
2021/2/1 14 • Lp面积测度(E.Lutwak，1993) 设K，L是 中的两个凸体，则 上存在测度 使得K与L的p-混合体积可表示为 ( ) ( , ). 1 ( , ) 1 − = n S p p p hL u dS K u n V K L n−1 S S (K, •) p • p-Minkowski问题：在 上给定一个Borel测 度 ，给出 所需要满足的充分必要条件使得 存在一个包含原点为内点的凸体 且 S (K, •) = . p n−1 S K n R
平行X射线与点x射线(x-rays K X K 如果已知一个平面凸体在四 个方向上的平行X射线,那 么这个凸体可以被唯一确定 (Gardner and McMullen 1980) 如果已知一个平面凸体关 于四个点(这四个点中的任 意三点不共线)的点X射线 ,那么这个凸体可以被唯 确定.(oli,1986) 2021/2/ 15
2021/2/1 15 平行X射线与点X射线(X-rays) 如果已知一个平面凸体在四 个方向上的平行X射线，那 么这个凸体可以被唯一确定. (Gardner. and McMullen, 1980) 如果已知一个平面凸体关 于四个点(这四个点中的任 意三点不共线)的点X射线 ，那么这个凸体可以被唯一 确定. (Volčič, 1986) K Xu K ⊥ u p q u