第八章不定积分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容: 1)不定积分的概念 2)不定积分与微分的关系 3)不定积分的基本积分公式 4)不定积分的线性性质 重点:不定积分与微分的关系,基本积分公式 要求:熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
1 第八章 不 定 积 分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容： 1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质
首先,我们简要说明积分运算是如何产生的? 般来说,在数学中,一种运算的出现都伴随着它的逆运算。 例如,有加就有减,有乘就有除,有乘方就有开方,等等。我们 前面学过的微分运算也不例外,它也有逆运算一积分运算。我们 已经知道,微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的 导函数,那么我们很自然地会提出与之相反的问题是:求一个未 知函数,使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题,是 因为它存在于许多实际的问题中,例如:已知速度求路程;已知 加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足 的某一规律),求曲线方程等等。要解决这些实际问题,自然会 想到微分运算的逆运算,这就是产生积分运算的原因 为了更好地理解积分运算是导数(微分)运算的逆运算,我 们在介绍积分运算时,把乘方运算(开方)和它作比较:
2 首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？ 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。 例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们 前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算—积分运算。我们 已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的 导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未 知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是 因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知 加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足 的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会 想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
我们熟悉乘方运算 也熟悉导数运算 2=8…(1) 于是提出新问题 同样提出问题 (?) =8 (2 这不是乘方运算,而是它的逆运算一这不是求导运算,而是它的逆运算 开方运算。 积分运算。 一般来说,在下式里 同样,在下式里 b (3) (F(x)=f(x)…(3)
3 我们熟悉乘方运算： 2 8 (1) 3 = 也熟悉导数运算： ( ) 2 (1)' x 2 = x 于是提出新问题： (?) 8 (2) 3 = (?) = 2x (2)' 同样提出问题： 这不是乘方运算，而是它的逆运算— 开方运算。 这不是求导运算，而是它的逆运算— 积分运算。 一般来说，在下式里 ( ) (3) 3 a = b (F(x)) = f (x) (3)' 同样，在下式里
若c知,b知,由a若F(x)已知,f(x)未知,由F(x) →>b则称(3)式为乘方→>f(x),则称(3)式为求导运算, 运算,称b为a的立方。 称f(x)为F(x)的导数。若f(x)已 若b已知,a未知,由知,F(x)未知,由/(x)→F(x2则 b→>a,则称(3)式为 称(3)'式为积分运算,称F(x)为 开方运算,称a为b的 f(x)的原函数 立方根。 通过上面的比较,对积分运算与原函数有了初步认识,以下先给出原函数 与不定积分的有关的定义 原函数与不定积分 定义设函数f与F在区间I上都有定义,若F(x)=f(x),Mx∈I, 则称F为f在区间上的一个原函数
4 , 3 , 3 a b a b b a b a b a a b → → 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为乘方 运算，称 为 的立方。 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为 开方运算，称 为 的 立方根。 ( ) ( ) ( ) ( ), 3 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 3 ' ( ) ( ) F x f x F x f x f x F x f x F x f x F x F x f x → → 若 已知， 未知，由 则称（ ）式为求导运算， 称 为 的导数。若 已 知， 未知，由 则 称（ ）式为积分运算，称 为 的原函数。 通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数 与不定积分的有关的定义。 一、原函数与不定积分 1 ( ) ( ), , f F I F x f x x I F f I 定义 设函数 与 在区间 上都有定义，若 = 则称 为 在区间 上的一个原函数
例如:2x3是x2在(-∞,+∞)上的一个原函数,x3|=x2 x2+c(c是任意常数)也是x在(-∞,+)上的原函数,|x2+c=x2 同样,(-√5csx+05)与(-5cx+c)都是smx在(,+a) 的原函数,…(-3cosx+05 /3 cOsx+c=√3Sinx 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话,那么 F(x)= xarctgx-ln(1+x2)是f(x)= arctan的一个原函数, 就没那么明显了,这样给我们提出了问题:
5 ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 , 3 3 1 1 ( . 3 3 x x x x x c c x x c x − + = + − + + = 例如： 是 在 ， 上的一个原函数， 是任意常数）也是 在 ， 上的原函数， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 cos 0.5 3 cos 3 sin 3 cos 0.5 3 cos 3 sin . x x c x x x c x − + − + − + − + = − + = 同样， 与 都是 在 ， 的原函数， 1 2 ( ) ln(1 ) ( ) 2 F x xarctgx x f x arctgx = − + = 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推的话，那么 是 的一个原函数， 就没那么明显了，这样给我们提出了问题：