§2换元积分法与分部积分法 我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多? 我们知道,如果已知一个函数可导,则我们利用求导公式及导数 的运算法则,总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然, 它的运算关键是求出被积函数的一个原函数,而原函数的定义不象导 数定义那样具有构造性,它只告诉我们其导数恰是某个已知函数f,并 没有告诉我们怎样由/求出它的原函数的具体形式和途径。因此,求 个函数的不定积分要比求一个函数的导数要困难得多。根据不定积分 运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定 积分,而对于更广泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选
1 f , f 我们先简述一下求不定积分为什么要比求导数困难得多？ 我们知道，如果已知一个函数可导，则我们利用求导公式及导数 的运算法则，总可以求出它的导数。但是求函数的不定积分则不然， 它的运算关键是求出被积函数的一个原函数，而原函数的定义不象导 数定义那样具有构造性，它只告诉我们其导数恰是某个已知函数 并 没有告诉我们怎样由 求出它的原函数的具体形式和途径。因此，求一 个函数的不定积分要比求一个函数的导数要困难得多。根据不定积分 运算法则与不定积分公式只能求出很少一部分比较简单的函数的不定 积分，而对于更广泛函数的不定积分要因函数不同形式或不同类型选 §2 换元积分法与分部积分法
用不同的方法,因此求不定积分具有很大的灵活性。本节所讲的换元 积分法与分部积分法是求不定积分的最基本最常用的两种重要方法 这两种方法都能化繁为简,即都能将不定积分的被积函数化简,直到 能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分。 换元积分法 由复合函数求导法则,可得两种换元积分法。它是求不定积分经常使 用的极为重要的方法,常常在应用其它方法的同时,也要伴随着应用 换元积分法。 第一换元法一凑微分法:设∫f()m=F()+C,m=(x河微,则 SS(u(x))(x)dx= F(u(x))+C 称这种为凑微分法,是因为在实际计算时,(x)的形式是“凑出 来”的,目的是使被积表达式可以看成为f(l)ldh,同时能积出来
2 1 ( − f 用不同的方法，因此求不定积分具有很大的灵活性。本节所讲的换元 积分法与分部积分法是求不定积分的最基本最常用的两种重要方法。 这两种方法都能化繁为简，即都能将不定积分的被积函数化简，直到 能应用不定积分表中的公式求出它的不定积分。 一、换元积分法 由复合函数求导法则，可得两种换元积分法。它是求不定积分经常使 用的极为重要的方法，常常在应用其它方法的同时，也要伴随着应用 换元积分法。 、第一换元法 凑微分法：设 ( ) ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) u du F u C u u x f u x u x dx F u x C u x f u du = + = = + 可微，则： 称这种为凑微分法，是因为在实际计算时， 的形式是“凑出 来”的，目的是使被积表达式可以看成为 ，同时能积出来
说明 1)、凑微分法适用于求被积函数呈f((x)n'(x)d的不定积分 2)、用凑微分法求不定积分时,关键是把被积函数适当地分成两部分: 一部分当成(x)与凑成d(u(x),而剩下部分:f((x)恰为n(x)的函数。 其积分过程为: ∫f(0x)(x)x-1分→j/(n(x)a((x) 2)、设F"(x)=f(uv(x) >F((x))+C 例、求g;例2、求a 例3、求 a>0);例4∫、2 ,(a≠0) 例5、求 sec xdx
3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( )) . 1 ; 2 F x f u x f u x u x dx u x dx d u x f u x u x f u x u x dx f u x d u x F u x C tgxdx = ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + ）凑微分 、设 说明： ）、凑微分法适用于求被积函数呈 的不定积分。 ）、用凑微分法求不定积分时，关键是把被积函数适当地分成两部分： 一部分当成 与 凑成 而剩下部分： 恰为 的函数。 其积分过程为： 例 、求 例 、 2 2 2 2 2 2 , ( 0) 3 , ( 0) ; 4 , ( 0); 5 sec dx a a x dx dx a a a x x a xdx + − − 求 例 、求 例 、 例 、求
2、第二换元法一代入换元法,也称逆代换法:设∫(x)d存在, x=x()可微且存在反函数t=1(x又若J(x)x(k=F()+C,则: f(x)dx= F(t(x))+C 说明 1)、一般来说,若被积函数含有根号,而用凑微分法难以求出其积 分时,可考虑用代入换元法作代换,作代换的目的在于去掉被积函 数的根号。 2)、代入换元法的积分过程恰与凑微分法相反,其过程为: ∫f(x)dk-f=m,∫f(xo)x()h-rcmF()+C 把还原成的函数→>F(t-1(x)+C
4 2 ( ) ( ) ( ), ( ( )) ( ) ( ) , ( ) ( ( )) . 1 2 ( ) f x dx x x t t t x f x t x t dx F t C f x dx F t x C f x dx − = = = + = + 作 、第二换元法 代入换元法，也称逆代换法：设 存在， 可微且存在反函数 又若 则： 说明： ）、一般来说，若被积函数含有根号，而用凑微分法难以求出其积 分时，可考虑用代入换元法作代换，作代换的目的在于去掉被积函 数的根号。 ）、代入换元法的积分过程恰与凑微分法相反，其过程为： ( ) ( ) ( ( )) ( ) 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) . x x t F t f x t x t t x f x t x t dt F t C F t x C = = − ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ + 代换： 设 把 还原成 的函数
例6、求∫ au ,例7、求∫va-x,(a>0) l+√ 例8、求 ,(a>0),例9 (a>0) 例0、求∫一 分部积分法 由乘积求导法,容易推出: 设以(x)与v(x微,n1(x)(x)存在,则m(x)(x)存在,并有: ∫n(x)n(x)bx=(x)(x)-n(xn(x)x(称为分部积分法公式)
5 ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 , 7 , ( 0), 8 ( 0) 9 , ( 0), 10 . 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( du a x dx a u u dx dx a a x a x a dx x x u x v x u x v x dx u x v x dx u x v x dx u x v x u x v x dx − + − + − = − 例 、求 例 、求 例 、求 ， ，例 、 例 、求 二、分部积分法 由乘积求导法，容易推出： 设 与 可微， 存在，则 也存在，并有： 称为分部积分法公式）