、三角函数有理式的不定积分 1、u(x)、v(x)的有理式 由l(x)、v(x)及常数经过有限次的四则运算所得到的函 数称为关于(x)、v(x)的有理式,并用R(u(x)、v(x)表示 2、三角函数有理式用R(sinx,cosx)表示 3、「 R(sin x. cos x)ax的求法: )、万能置换法:令g 2t 2t,则sinx +t 1+t2 =2m()2谁 从而可用有理函数的积分法求出其积分
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin ,cos ) ; 3 sin ,cos ) 2 1 1 , sin , cos , 2 1 1 2 2 1 2 , sin ,cos ) , . . 1 1 1 1 R x x R x x dx x t t tg t x x t t t t dx dt R x x dx R dt t t t t − = = = + + − = = + + + + 、三角函数有理式用 （ 表示 、 （ 的求法： ）、万能置换法：令 则 （ 从而可用有理函数的积分法求出其积分。 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x R 二、三角函数有理式的不定积分 、 、 的有理式 由 、 及常数经过有限次的四则运算所得到的函 数称为关于 、 的有理式，并用 （u(x)、v(x))表示
在理论上,任一有理三角函数的不定积分,通过万能置换法总可 以求出其积分,但其计算过程都比较烦琐,因此在特殊的情况下, 一般不采用此方法。(见下面介绍) 2)、特殊情形的求法: (1)、三角恒等变换法 2 a、对于| sin mx dx cos mx ax, 可利用倍角公式:sinx= cos ZX 2 1+cos 2x coSx三 来计算 2 b、对于 sin mx. cos nx. d、 jsin mx. sin nx.dr、 j cos mx. cosnx.dr.、(m≠m) 可用三角函数的积化和差公式: 2
2 在理论上，任一有理三角函数的不定积分，通过万能置换法总可 以求出其积分，但其计算过程都比较烦琐，因此在特殊的情况下， 一般不采用此方法。（见下面介绍） 2 2 2 2 2) 1 1 cos 2 sin cos : sin , 2 1 cos 2 cos . 2 sin .cos . sin .sin . cos .cos . ( ) x a mx dx mx dx x x x b mx nx dx mx nx dx mx nx dx m n − = + = 、特殊情形的求法： （）、三角恒等变换法 、对于 、 ，可利用倍角公式 来计算 、对于 、 、 、 可用三角函数的积化和差公式：
sin a sin B=lcos(a-B)-cos(a+B) SIn a. cos B sin(a+ B)+ cos(a-B), cos acos B=[cos(a+B)+cos(a-B)]求出其积分 c、对于| sinx cosx dx,当m、n中有一奇数时,可拆开它,然后用 凑微分法求其积分; 当m、n均为偶数时,可利用倍角公式: sIn x cos x=-sin2x; cOS 2X 1+cos 2x sInx COSx= 反复使用即可求出其积分
3 2 2 1 1 sin .sin cos( ) cos( ) , sin .cos sin( ) 2 2 cos( ) 1 cos .cos cos( ) cos( ) . 2 sin cos , 1 sin cos sin 2 ; 2 1 cos 2 1 sin ; cos 2 m n c x x dx m n m n x x x x x x = − − + = + + − = + + − = − + = = ， 求出其积分。 、对于 当 、 中有一奇数时，可拆开它，然后用 凑微分法求其积分； 当 、 均为偶数时，可利用倍角公式： cos 2 2 x 反复使用即可求出其积分
拆项与反复使用倍角公式 d对于∫snxa、∫ cosx dx,1y=」 g (可用分部积分法+递推公式求出) (2)、若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),即R(sinx, coS x) 关于cosx是奇函数,则令:sinx=t;若R(-sinx,cosx) R(sinx,cosx),则令:cosx=t;R(-sinx,-cosx) R(sinx,cosx),则令:gx=t或cgx=t,在何种情况下, R(sinx,cosx)dx才考虑用万能置换法? 一般地,不满足上述2)的各种特殊情形的,才考虑用万 能置换法
4 (2) (sin , cos ) (sin , cos ), (sin , cos ) cos sin ; ( sin , cos ) (sin , cos ) cos ; ( sin , cos ) (sin , cos ), . (sin , cos ) 2 R x x R x x R x x x x t R x x R x x x t R x x R x x tgx t ctgx t R x x dx − = − = − = − = − − = = = 、若 即 关于 是奇函数，则令： 若 ，则令： 则令： 或 在何种情况下， 才考虑用万能置换法？ 一般地，不满足上述 ）的各种特殊情形的，才考虑用万 能置换法。 1 2 1 sin cos , 1 ( m m n n n n d x dx x dx I tgx dx tgx I n − = = − − − + 拆项与反复使用倍角公式 、对于 、 可用分部积分法 递推公式求出）
三、某些无理(根式)函数的不定积分 般的无理(根式)函数的不定积分并不一定能求得出来,而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分,作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理(根式)函 数的不定积分的求法: atb 1、形如[R(x,yamx+b)dx或:「R|x, dx,可作变换: √ax+b=t或: ax tb cr tdt 2、形如「R(x,√ax+b,…,y√ax+bkx或:「R rr, n/ax+6 ax tb Cx+ cx+d
5 ( ) 1 1 , , , ; 2 , n n n n n ax b R x ax b dx R x dx cx d ax b ax b t t cx d R x ax b ax + + + + + = = + + + 三、某些无理（根式）函数的不定积分 一般的无理（根式）函数的不定积分并不一定能求得出来，而对于 一些简单的无理函数则可通过适当的代换可化为有理函数的不定积 分，作代换的目的就是去掉根号。以下是一些常见无理（根式）函 数的不定积分的求法： 、形如 或： 可作变换： 或： 、形如 ， ， ( ) 1 , , , , k k n n n ax b ax b b dx R x dx cx d cx d + + + + 或：