§3有理函数的不定积分 有理函数的不定积分内容 1)有理函数的部分分式分解 2)有理函数的不定积分 难点:有理函数的部分分式分解 要求:掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法 第一换元法,第二换元法,分部积分法。灵活的应用 它们,就可以求出许多不定积分 有理函数是指两个多项式的商表示的函数:
1 §3 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分内容： 1）有理函数的部分分式分解 2）有理函数的不定积分 难点：有理函数的部分分式分解 要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法 第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用 它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数：
Pix 卫-1 Cx+L1x“ 0 +5,r … 先介绍代数学中两个定理: 定理1(多项式的因式分解定理)任何实系数多项式总那个可以 唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积: Qx)=b(x-a)2…(x-b)(x2+px+q)3…(x2+r+ 2
2 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以 唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积： k l s r Q(x) b (x a) (x b) (x px q) (x rx h) 2 2 0 = − − + + + +
定理2(部分分式展开定理): P(x) Al A … Q(x)(x-a)(x-a)2 A-c B B B (x-b)(x-b) (x-b) Px+ 1 2x+ x2+px+q(x+px+9)2+…+ Px+el (x2+yx+9)+ x十+2+…、B2x+且2 R1x+1 Rx+A …十 (x +rx +h) (x+rx +r)
3 定理2 （ 部分分式展开定理）：
因此有理函数的积分问题就归结为计算 dx 与 Mx+w N X-c (x+px +q 2x-1 例1.求不定积分 x2-5x+6 2x-1 B 将被积函数按部分分式分解:-2 x2-5x+6x-2x-3 两边同乘(x-2)(x-3 2x-1=A(x-3)+B(x-2) 比较同次项系数:
4 因此有理函数的积分问题就归结为计算 与 例 1. 求不定积分 将被积函数按部分分式分解： 两边同乘 比较同次项系数：
A+B=2 13A+2B=7解此方程组得:A==3,B=5 由此得到: 2x-1 5x+6x-3x-2 所以 2x-1 dx ax= ln (x+3 I+c 5x+6 X X (x+2) 例2 2x +4x +9x-10 dx x5+x4-5x3-2x2+4x-8 解将分母分解因式(x-2(x+2)2(x2-x+1)
5 解此方程组得： A = -3 ，B = 5 由此得到 ： 所以 例 2 解 将分母分解因式