第五节无穷小量和无穷大量 冯永平 ypmath agzhu. edu.cn 合
第五节 无穷小量和无穷大量 冯永平 Fypmath@gzhu.edu.cn
、无穷小量 1定义:极限为零的变量称为无穷小量 定义1如果对于任意给定的正数8(不论它多么小, 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0<x-x<8(或x>X)的一切x,对应的函数值 0 f(x)都满足不等式f(x)<E, 那末称函数f(x)当x-xx。(或x→>)时为无穷小 记作imf(x)=0(或lim∫(x)=0 x- r→0
一、无穷小量 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数e(不论它多么小), 总存在正数 d( 或正数 X),使得对于适合不等式 < - < d 0 0 x x (或 x > X)的一切 x,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f ( x) < e, 那末 称函数 f (x)当 0 x x （或 ）时为无穷小, 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 f x = f x = x x x 或 极限为零的变量称为无穷小量. → → x → →
例如, lim sin x=0,∴函数sinx是当x→Q时的无穷小 0 ∵Iim-=0. 函数是当x→∞时的无穷小 x→>0J im(-1)"=0.:数列(是当n→∞时的无穷小 n→0 注意 1无穷小是变量不能与很小的数混淆; 2零是可以作为无穷小的唯一的数
例如, limsin 0, 0 = → x x 函数sin x是当x → 0时的无穷小. 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 0, ( 1) lim = - → n n n } . ( 1) 数列{ 是当 → 时的无穷小 - n n n 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数
2无穷小与函数极限的关系: 定理1limf(x)=A分∫(x)=A+a(x), x→x 其中a(x)是当x→x0时的无穷小 证设Im∫(x)=A,令α(x)=∫(x) vE>0,36>0,使得当0<x-x0<δ时 恒有f(x)-A<E 即有a(x)<6
2.无穷小与函数极限的关系: 证 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 (x) = f (x) - A, 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = = + → 其中(x)是当x → x0时的无穷小. e e d d - < > > < - < f x A x x ( ) 0, 0, 0 0 恒 有 使得当 时 即有 (x) < e
意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题无穷小; 2给出了函数f(x)在x附近的近似表达式 证∫(x)≈A,误差为a(x) 3无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的 代数和仍是无穷小 设a及β是当x→>时的两个无穷小 VE>0,3X,>0,X,>0,使得
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); ( ) , ( ). 2. ( ) 0 f x A x f x x 误差为 给出了函数 在 附近的近似表达式 3.无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的 代数和仍是无穷小. 证 设及是当x → 时的两个无穷小, e > 0,X1 > 0,X2 > 0,使得