定理1（阿贝尔定理 如果幂级数 ∑anx” n=0 在x=x点收敛，则对满足不等式x<x0 阿贝尔，MH 的任何x幂级数都绝对收敛 反之，若当x=x时该幂级数发散，则对满足不等式 x>xo的任何x,该幂级数也发散 证：设∑anx收敛，则必有lim anx6=0,于是存在 n n→00 常数M>0,使a,xM(n=0,1,2,…) 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 阿贝尔目录上页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散 定理 1 ( 阿贝尔定理 ) 如果幂级数 n0 n n a x 则对满足不等式 的任何 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的任何x , 该幂级数也发散. 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 发 散 收 O 敛 发 散 x 阿贝尔
ax ≤M xo 当|x<o时，∑M”收敛∑ax 也收敛 n=0 故原幂级数绝对收敛 反之，若当x=xo时该幂级数发散，下面用反证法证之 假设有一点x,满足x,>xo且使级数收敛，则由前 面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾， 故假设不真.所以若当x三x,时幂级数发散，则对一切 满足不等式x>xo的x,原幂级数也发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛. 也收敛, 反之, 若当 0 x x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 0 n n n x x a x 0 0
推论 如果幂级数∑anx”不仅在x=0一点收敛，也 不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定 的正数R,它具有这样的性质： (1)当x←R时，幂级数绝对收敛； (2)当x>R时，幂级数发散： (3)当x=R与x=一R时，幂级数可能收敛也可能发散， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (1)当|x|<R时，幂级数绝对收敛； 推论 如果幂级数 不仅在x＝0一点收敛，也 不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定 的正数R，它具有这样的性质： n0 n n a x (2)当|x|>R时，幂级数发散； (3)当x＝R与x＝－R时，幂级数可能收敛也可能发散
由Abel定理可以看出，∑anx” 的收敛域是以原点为 中心的区间. n=0 用士R表示幂级数收敛与发散的分界点，则 R=0时，幂级数仅在x=0收敛； R=+o时，幂级数在（一0，+o)收敛； 0<R<+0,幂级数在（一R,R)收敛；在[一R,R] 外发散，在x=±R可能收敛也可能发散 R称为收敛半径，（一R,R)称为收敛区间 (一R,R)加上收敛的端点称为收敛域 收敛发散 发散 收O敛 发散x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, n0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = + 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 O 敛 发 散 x 收敛 发散