2抛物插值 线性插值仅仅用两个节点以上的信息,精确度较差。为 了提高精确度,我们进一步考察以下三点的插值问题(n=2): 这时0x-(xn-x1)(x0-x2) (x-x1)(x-x2) 1(x)= (x-x0)(x-x2) l2(x) (x-x0)(x-x1) X -x )(x2-x1) 由此得到抛物插值多项式L2(x)=y(x)+y;4(x)+y2x) 抛物插值又称三点插值
2.抛物插值 线性插值仅仅用两个节点以上的信息，精确度较差。为 了提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值问题(n=2)： 这时 1 2 0 0 1 0 2 ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x l x x x x x − − = − − 0 2 1 1 0 1 2 ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x l x x x x x − − = − − 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( ) ( )( ) x x x x l x x x x x − − = − − 由此得到抛物插值多项式 2 0 0 1 1 2 2 L x y l x y l x y l x ( ) ( ) ( ) ( ) = + + 抛物插值又称三点插值
例1已知y=hx的函数表 x 1011 12 13 14 2.30262.39792.48492.564926391 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求ln(11.5)的近似值, 并估计误差。 % agrange插值法的程序 function y=lagrange(Xo, yO, x) clear n=length(XO); m=length(x); for j=l: m x0=[1011121314]; y0=[2302623979,248492564926391 s=0.0 x=10:01:15 for kel: n lagrange(X0,y0,对 for j=1: n plot(x0, yo, +,, x, y) if j-=k p=p’(zx0()/(X0kx)x end end s=p"yo(k+s end y()=s; end
例1 已知 y = ln x 的函数表 x 10 11 12 13 14 y 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 ln(11.5) 并估计误差。 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求 的近似值， %lagrange插值法的程序 function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end clear x0=[10 11 12 13 14 ]; y0=[2.3026 2.3979,2.4849,2.5649 2.6391]; x=10:0.1:15; y=lagrange(x0,y0,x); plot(x0,y0,’+’,x,y)
1年龙格( Runge)给出一个例子 1(x)=1+x2定义在区间[1,1上,这是一个光滑函数,它的任意阶导 数都存在,对它在[-1,1上作等距节点插值时,插值多项式情况,见图 f(x)=1(1+×2) 1.5 n=10 从图中,可 见,在靠近 n=2 1或1时, 0.5 余项会随n 值增大而增 大,如 -0.5 12(0.96=3 ×6!但 f(0.96)=0.25
1901年龙格(Runge)给出一个例子: 定义在区间[-1，1]上，这是一个光滑函数，它的任意阶导 数都存在，对它在[-1，1]上作等距节点插值时，插值多项式情况，见图: 从图中，可 见，在靠近 -1或1时， 余项会随n 值增大而增 大，如 P12(0.96)=3 ×6!但 f(0.96)=0.25 2 1 ( ) 1 f x x = + -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 f(x)=1/(1+x2 )
从图中,还可发现,在0附近插值效果是好的,即余 项较小,另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。 这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被 插之数的现象,称为龙格现象。 上述现象和定理,告诉我们用高次插值多项式是不妥当 的,从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍 入误差的增大,从而引起计算失真。那么如何提高插值精度 呢?采用分段插值是一种办法。实践上作插值时一般只用 次、二次最多用三次插值多项式
从图中，还可发现，在0附近插值效果是好的，即余 项较小，另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。 这种插值多项式当节点增加时反而不能更好地接近被 插之数的现象，称为龙格现象。 上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当 的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍 入误差的增大，从而引起计算失真。那么如何提高插值精度 呢？采用分段插值是一种办法。实践上作插值时一般只用一 次、二次最多用三次插值多项式
1.22分段线性插值 分段线性插值: matalb调用格式: 分段线性插值的构造: yi=interp1(x,y, xi, linear) 设x)是定义在a上的函数,在ab上节点xy为插值节 点,x为待 a-=X <XI<X2.<X<X=b, 求节点 的函数值为y, 12n Qx)在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,…n-1)上是一次插 值多项式: x-x X-x 0(x)=J +y+ xi,sesil :-x 这种分段低次插值称为分段线性插值在几何上就是用 折线段带代替曲线,故分段线性插值又称为折线插值 实际上是连接点(x2yk),=0,1…,m的一条折线
分段线性插值的构造： 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn 。 (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是一次插 值多项式; 1 1 1 1 1 + + + + + − − + − − = i i i i i i i i i i x x x x x x x y x x x x (x) y , 这种分段低次插值称为分段线性插值.在几何上就是用 折线段带代替曲线,故分段线性插值又称为折线插值. ( , ) , 0,1, , k k 实际上是连接点 的一条折线 x y i n = 1.2.2 分段线性插值 分段线性插值： matalb调用格式： yi=interp1(x,y,xi,’linear’) x,y为插值节 点，xi为待 求节点