求f(x)的n次插值多项式p=(x)的几何意义,就是 通过曲线y=f(x)上的若干个节点,作一条代数曲线y=Pn(x) 来近似代替曲线y=∫(x)。如图所示。 y=∫(x) y=p(r) 图2-1
求 f (x) 的n次插值多项式 ( ) n y p x = 的几何意义，就是 y = f (x) 上的若干个节点，作一条代数曲线 ( ) n y p x = 来近似代替曲线 y = f (x) 。如图所示。 通过曲线
§12插值多项式的求法 在前面讨论插值多项式的存在唯一性时,实际上已提 供了它的一种求法,即通过求解线性方程组来确定其系数a1 i=0,1,2,,n) 但是这种方法不仅计算量大,而且因不能获得简明的 表达式而给理论和应用研究带来不便。在这里我们学习两 种简便而实用的求答。 1.21拉格朗日插值多项式 在线性代数中知道,所有次数不超过n次的多项式构 成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此 尽管满足条件(4)的n次插值多项式是唯一的,然而它 的表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件:
§1.2 插值多项式的求法 在前面讨论插值多项式的存在唯一性时，实际上已提 供了它的一种求法，即通过求解线性方程组来确定其系数ai (i=0,1,2,…,n) 但是这种方法不仅计算量大，而且因不能获得简明的 表达式而给理论和应用研究带来不便。在这里我们学习两 种简便而实用的求答。 1.2.1 拉格朗日插值多项式 在线性代数中知道，所有次数不超过n次的多项式构 成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此 尽管满足条件（4）的n次插值多项式是唯一的，然而它 的表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件：
0,i≠k () (9) 的一组n次多项式(x)4(x)2(x)…,(x)作为上述 线性空间的基,则容易看出 1(x)+4(x)1+…+l(x)n=∑yl(x) k=0 (10) 是一个次数不超过n的多项式。且满足插 值条件(4) 因此,由n+1个代数多项式l(x)4(x)2(x)…,l2(x) 线性生成的多项式(10)就是满足插值条件的n次插值多 项式。 满足条件(9)的多项式l(x)41(x)42(x)…ln(x) 称为n+1个节点的n次基本插值多项式(或n次基函数)
0, ( ) 1, k i i k i k l x = = 的一组n次多项式 l (x) l (x) l (x) l (x) n , , , , 0 1 2 作为上述 线性空间的基，则容易看出 0 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n k k k l x y l x y l x y y l x = + + + = 是一个次数不超过n的多项式。且满足插 值条件（4）。 因此，由n+1个代数多项式 l (x) l (x) l (x) l (x) n , , , , 0 1 2 线性生成的多项式（10）就是满足插值条件的n次插值多 项式。 （10） （9） 满足条件（9）的多项式 称为n+1个节点的n次基本插值多项式（或n次基函数） l (x) l (x) l (x) l (x) n , , , , 0 1 2
显然,求拉格朗日多项式的关键是求n次插值基函数。 因为1(x)为n次多项式,且 0,i≠k 1. i=k 因此,可设 1(x)=4(x-x0)xx1),(x-x)x-x+)-(x-x,) l4(x)= (x-x0)…(x-x-1)(x-x+1)…(x-xn) )…(xk-xA=1)(xk-x+1)…(xk-xn)
显然，求拉格朗日多项式的关键是求n次插值基函数。 0, ( ) 1, k i i k i k l x = = 因此，可设 ( ) 0 1 1 1 ( )( )...( )( )...( ) k k k k n l x A x x x x x x x x x x = − − − − − − + 因为 l (x) k 为n次多项式，且 n 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) k k n k k k k k n k k x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − −
两种特殊的 Lagrange插值多项式 1线性插值(两点插值) 最简单的插值是线性插值(此时n=1),这时插值问题就是 求一次多项式 PI(X =aota 使它满足条件P1(x0)=y0,P1(x1)=y1, 这时1(x) x-x 1(x)= x1-x0 于是线性插值多项式为 x- L(x)=yo t yI 即 L, (x=yo+ yi-yO x- 它就是通过Mx0y0)和M1(x12y1)两点的线段
两种特殊的Lagrange插值多项式 1.线性插值(两点插值) 最简单的插值是线性插值(此时n=1), 这时插值问题就是 求一次多项式 P1 (x)=a0+a1x 使它满足条件 P1 (x0 )=y0 , P1 (x1 )=y1 , 这时 1 0 0 1 ( ) x x l x x x − = − 0 1 1 0 ( ) x x l x x x − = − 于是线性插值多项式为 1 0 1 0 1 0 1 1 0 ( ) x x x x L x y y x x x x − − = + − − 即 1 0 0 0 1 0 ( ) ( ) n y y L x y x x x x − = + − − 它就是通过M0 (x0 ,y0 )和M1 (x1 ,y1 )两点的线段