分段线性插值曲线图: 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 41 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
分段线性插值曲线图： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
例1已知y=hx的函数表 x 1011 12 13 14 2.30262.39792.48492.564926391 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求n(1.5)的近似值, 并估计误差。cear x0=[1011121314]; y0=[2302623979,248492564926391]; x=1001:15 y1interp1(X0, yO, X, linear); yyi=interp1(X0,yo, 11.5, linear); y2=interp1(X0, yo, x, cubic); yy2=interp1(x0, yo, 11.5,cubic); subplot(1, 2, 1) plot(x0,yo, +, x,y1, 11.5, yy1, 'ro,) title piecewise linear subplot(1, 2, 2) pot(x0,y0”+,xy2,11.5yy2,’ro) title(Piecewise cubic")
例1 已知 y = ln x 的函数表 x 10 11 12 13 14 y 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 ln(11.5) 并估计误差。 分别用拉格朗日线性和抛物线插值求 的近似值， clear x0=[10 11 12 13 14 ]; y0=[2.3026 2.3979,2.4849 2.5649 2.6391 ]; x=10:0.1:15; y1=interp1(x0,y0,x,’linear’); yy1=interp1(x0,y0,11.5,’linear’); y2=interp1(x0,y0,x,‘cubic'); yy2=interp1(x0,y0,11.5,‘cubic'); subplot(1,2,1) plot(x0,y0,'+',x,y1,11.5,yy1,’rO’) title('Piecewise linear') subplot(1,2,2) plot(x0,y0,'+',x,y2,11.5,yy2,’rO’) title('Piecewise cubic')
分段二次插值即:选取跟节点x最近的三个节点 X1,x12x1进行二次插值,即在区间[x1,X,取 i+1 f(x)≈L2x)=∑yI k=i k j≠k 这种分段的低次插值叫分段二次插值,在几何上 就是用分段抛物线代替y=f(x),故分段二次插值 又和分段抛物插值。 matlab调用格式 yi= interp1(x,yxi; cubic)%二次多项式插值
分段二次插值即：选取跟节点x最近的三个节点 xi-1 ,xi , xi+1进行二次插值，即在区间[xi-1 , xi+1 ]，取： 这种分段的低次插值叫分段二次插值，在几何上 就是用分段抛物线代替y=f(x)，故分段二次插值 又和分段抛物插值。 + = − + = − − − = 1 1 1 1 2 i k i i j k j i k i i j k x x x x f x L x y ( ) ( ) ( ) ( ) matlab调用格式 yi=interp1(x,y,xi,’cubic’) %二次多项式插值
13三次样条插值 什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年, Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数
什么是样条: 是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数 1.3 三次样条插值
14.1、三次样条插值函数 定义1.a≤x,x1…,xn≤b为区间ab的一个分割 如果函数S(x)在区邮ab]上满足条件 (1)S(x),S(x),S"(x)都在区间a,bl上连续,即S(x)∈C2[a,b (2)S(x)在每个小区间xxk+1上都是三次多项式 (3)如果函数f(x)在节点x,x八…x处的函数值为 f(x)=y,j=01,,n 而S(x)满足S(x)=y,=0,1…,n 则称S(x)为(x)在ab上的三次样条插值函数
(1) ( ), ( ), ( ) [ , ] , ( ) [ , ] 2 S x S x S x 都在区间 a b 上连续 即S x C a b (2) S(x)在每个小区间[xk , xk +1 ]上都是三次多项式 (3)如果函数f (x)在节点x0 , x1 , , xn 处的函数值为 f (xj ) = yj , j = 0,1, ,n 而S x( )满足 S(xj ) = yj , j = 0,1, ,n 则称S(x)为f (x)在[a,b]上的三次样条插值函数 ------(1) 定义1. a x0 , x1 , , xn b为区间[a,b]的一个分割 如果函数S(x)在区间[a,b]上满足条件: 1.4.1、三次样条插值函数