无穷小的比较 例如,当x→>Q时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小 观 勿十 0 x→03x x比3x要快得多 察各极限 SIn x sinx与x大致相同; X sn lim 型) 2= lim sin不存在.不可比 x→0 →)0 极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
一、无穷小的比较 例如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. 3 ; x 2比 x要快得多 sin x与x大致相同; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 不存在. 观 察 各 极 限 （ 型） 0 0
定义:设a,B是同一过程中的两个无小且≠0. (1)如果im2=0,就说β是比a高阶的无穷小, 记作β=0(x); (2)如果lim=∞,就说B是比a低阶的无穷小 (3)如果lmp=C≠0,就说β与a是同阶的无穷小 特殊地,如果IimP=1,则称β与a是等价的无穷小; 记作a~β;
记作 ； 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小 ( ) (1) lim 0 , = = o 定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0. (3) 如果 lim = 0,就说 与 是同阶的无穷小; C ~ ; lim 1, ; = 记作 特殊地，如果 则称 与 是等价的无穷小 ２ 如果 = ，就说 是比 低阶的无穷小． ( ) lim
(4)如果im=C≠0,k>0就说β是a的k阶的 无穷小 例如, m x→)03x 即x2=0(3x)(x→0) 当x→0时,x2是比3x高阶的无穷小; SIn m x->0x 即sinx~x(x→>0) 当x→0时,sinx与x是等价无穷小
. (4) lim 0, 0, 无穷小 如果 k = C k 就说 是 的 k 阶的 0， 3 lim 2 0 = → x x x 1， sin lim 0 = → x x x 0 3 ; 当 x → 时，x 2 是比 x 高阶的无穷小 (3 ) ( 0). 即 x 2 = o x x → 当 x → 0时，sin x 与 x 是等价无穷小． 即sin x ~ x (x → 0). 例如
例1证明:当x→Q时,tanx-sinx为x的三阶无穷小 tanx- sin x 解∵lim x→0 1 sinx 1-cos x lim( x-0 cosx x limSⅧ 1-cosx 1 =lim x→0c0Sxx->0xx>0r 2 2 tanx-sinx为x的三阶无穷小
例 1 证明:当x → 0时,tan x − sin x为x的三阶无穷小. 解 3 0 tan sin lim xx x x − → ) sin 1 cos cos1 lim( 2 0 x x x x x x − = → , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小.2 0 0 0 1 cos lim sin lim cos1 lim x x x x x x x x − = → → →
定理1β与a是等价无穷小的的充分必要条件 为β=a+0(a)称a是β的主要部分 证必要性设a~β, in =limP-1=0, c β-a=0(x),即β=a+0(a) 充分性设β=a+0(a) limP= lim a+o(a) 0(c = lim (1+ aβ c c
为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 = + ( ). 1 o 证 必要性 设 ~ ， lim lim − 1 = − = 0， − = o()，即 = + o()． 充分性 设 = + o()． + = ( ) lim lim o （１＋ ） = ( ) lim o = 1， ~ ．