第一章空间向量与立体几何 课后·训练提升 基础·巩固 x+y=1或x+y=-3. 答案1或-3 1.若a=(a1,a2a),b=(b1,b2,b3),则a==a2"是 7.若向量a=(1,入，2)，b=(一2,1,1)，a与b夹角的余弦值 b1b2 b3 “aB”的( 为后则入一 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 a·b 1 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为cos(a,b)=1ab=√+5·后 6,由题 答案A 意知>0，所以入=1. 2.已知a=(-3,1,2),b=(1,x,-1),若a·b=2,则x的 答案1 值为( A-7 8.已知AP=(x+1y-3,z-1),PB=(-1-x,3-y,4- B.7 C.3 D.-3 z),且APP店，AP=2P克，且AP与P第的方向相同，则 解析由一3X1十x十2×（一1）=2，得x=7.故选B. x= ,y= 答案B 答案-133 3已知店=(-3,5，Dm=11,1D.则号应-m=( 9.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),求b的坐标及 a·b. (←子-》 B(←，-子) 解b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2, c》 n(-3.,3） -4,2), .a·b=(1,-2,1)·(2,-4,2)=1×2+(-2)× 解析号=(-2号) (-4)+1×2=2+8+2=12. 10.已知AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),AP=(x 号-m(←3子》 4,一2,0)，且A,B,C,P四点共面，求x的值. 解由已知，得AB=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8), 答案A AP=(x-4,-2,0),且点P在平面ABC内， 4.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行 则A产=AB+uAC, 四边形的面积为( 即(x-4,-2,0)=λ(-2,2，-2)十(-1,6，-8)， A.√65 R圆 C.4 D.8 x-4=-2λ-4， 得{-2=2λ十6， 即x=11. 解析la=√22+(-1)2+22=3,1b1=3, 0=-2λ-8， ..cos(a.b)-Tallbl a·b 2×2-1×2+2×1= 4 3×3 9, 拓展·提高 sin(a,b)=65 1.已知BA=(0,-3,-3),AC=(-1,1,0),则向量AB与 9 AC的夹角为( ∴.S=|a|blsin(a,b)=√65 A.30 B.45° C.60° D.90 答案A 解析因为cos(AB,AC)= AB.AC 3 5.（多选题)与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标 A1A心32×2-2 为() 又AB,AC》∈[0，π]，所以(AB,AC)=60° A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) 答案C C.(-1,3,-2) n(层-1，) 2.在△ABC中，∠C=90°，且C第=(-6,1,2k),=(-3, 2,一k),则k的值为( 答案CD A.√0 B.-1o 6.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b, 则x十y的值为 C.25 D.士√o 解析由a=(2,4,x),得|a=√22+42+x=6, 解析C=(-6,1,2k),CA=(-3,2,-k), .x=士4 .C第.Ci=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)= 又a⊥b,∴.a·b=4+4y+2x=0. -2k2+20=0, ∴k=士√/10. ly=-3ly=1. 答案D 21
第一章 空间向量与立体几何 课后·训练提升 基础 巩固 1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则“ a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 ”是 “a∥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 2.已知a=(-3,1,2),b=(1,x,-1),若a·b=2,则x 的 值为( ) A.-7 B.7 C.3 D.-3 解析 由-3×1+x+2×(-1)=2,得x=7.故选B. 答案 B 3.已知A→B=(-3,5,1),m=(1,1,1),则 2 3 A→B-m=( ) A.-3, 7 3 ,- 1 3 B.-3,- 7 3 , 1 3 C.3, 7 3 , 1 3 D.-3,7, 1 3 解析 ∵ 2 3 A→B= -2, 10 3 , 2 3 , ∴ 2 3 A→B-m= -3, 7 3 ,- 1 3 . 答案 A 4.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行 四边形的面积为( ) A. 65 B. 65 2 C.4 D.8 解析 ∵|a|= 22+(-1)2+22 =3,|b|=3, ∴cos<a,b>= a·b |a||b| = 2×2-1×2+2×1 3×3 = 4 9 , sin<a,b>= 65 9 , ∴S=|a||b|sin<a,b>= 65. 答案 A 5.(多选题)与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标 为( ) A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2) D. 1 3 ,-1, 2 3 答案 CD 6.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b, 则x+y的值为 . 解析 由a=(2,4,x),得|a|= 22+42+x2 =6, ∴x=±4. 又a⊥b,∴a·b=4+4y+2x=0. ∴ x=4, y=-3 或 x=-4, y=1. ∴x+y=1或x+y=-3. 答案 1或-3 7.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a 与b夹角的余弦值 为 1 6 ,则λ= . 解析 因为cos<a,b>= a·b |a||b| = λ λ2+5· 6 = 1 6 ,由题 意知λ>0,所以λ=1. 答案 1 8.已知A→P=(x+1,y-3,z-1),P→B=(-1-x,3-y,4- z),且A→P∥P→B,A→P=2P→B,且A→P 与P→B 的方向相同,则 x= ,y= ,z= . 答案 -1 3 3 9.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),求b 的坐标及 a·b. 解 ∵b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2, -4,2), ∴a·b=(1,-2,1)·(2,-4,2)=1×2+(-2)× (-4)+1×2=2+8+2=12. 10.已知A→B=(-2,2,-2),A→C=(-1,6,-8),A→P=(x- 4,-2,0),且A,B,C,P 四点共面,求x 的值. 解 由已知,得A→B=(-2,2,-2),A→C=(-1,6,-8), A→P=(x-4,-2,0),且点P 在平面ABC 内, 则A→P=λA→B+μA→C, 即(x-4,-2,0)=λ(-2,2,-2)+μ(-1,6,-8), 得 x-4=-2λ-μ, -2=2λ+6μ, 0=-2λ-8μ, 即x=11. 拓展 提高 1.已知B→A=(0,-3,-3),A→C=(-1,1,0),则向量A→B 与 A→C 的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析 因为cos<A→B,A→C>= A→B·A→C |A→B||A→C| = 3 32× 2 = 1 2 , 又<A→B,A→C>∈[0,π],所以<A→B,A→C>=60°. 答案 C 2.在△ABC 中,∠C=90°,且C→B=(-6,1,2k),C→A=(-3, 2,-k),则k的值为( ) A. 10 B.- 10 C.25 D.± 10 解析 ∵C→B=(-6,1,2k),C→A=(-3,2,-k), ∴C→B·C→A=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)= -2k2+20=0, ∴k=± 10. 答案 D 21
数学 选择性必修 第一册 配人教B版 3.已知a=(cosa,l,sina),b=(sina,l,cosa),则向量a十 6.已知Pd=(2cosB-3cosa,2sing-3sina,0),则|Pd1的 b与a一b的夹角是( 取值范围是 A.90° B.60 解析1P1=√2cosB-3cosa)2+(2sinB-3sina产+0 C.30 D.0° =13-12(cos acos B+sin asin B) 解析a十b=(cosa十sina,2,sina十cosa),a-b= =√/13-12cos(a-3). (cosa-sina,0,sina-cosa),.(a十b)·(a-b)= ,cos(a-B)∈[-1,1]， cos'a-sin'a+sin'a-cos'a=0, ∴.P01的取值范图为[1,5] .(a十b)⊥(a-b),∴.a十b与a-b的夹角为90° 答案[1,5] 故选A. 7.已知a=(2,一1,2)与b共线，且满足a·b=一18，求向量b. 答案A 解设b=(2入，-入，2λ)， 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥2a-b), 则() 由a·b=4以十入十4以=-18，得入=-2， 即b=(-4,2,-4). A=方= B.r= 2y=-4 挑战·创新 C2y=- D.x=1,y=-1 已知AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2). 解析a=(1,2,-y),b=(x,1,2),∴a十2b=(1十2x (1)求以AB,AC为邻边的平行四边形面积： 4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2). (2)若|a|=5,且a分别与AB,AC垂直，求向量a的 (a十2b)∥(2a-b),.存在A∈R,使a+2b= 坐标 1十2x=A(2-x), 解(1)AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2) A(2a-b),即(4=3x, 解得=2 4-y=a(-2y-2), Iy=-4. 六os店，AC=A店·A亡 -2+3+61 IAB1IAC14×a2 答案B 5.已知PA=(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-1),AC=(2, 血.d-, 0,1).若PA⊥AB,PA⊥AC,则x= .以A,AC为邻边的平行四边形面积 S=IABIIACIsin(AB.AC)=73. 解析PA=(-x,1,-z), x2+y2+z2=3, AB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1), (2)设a=(x,y,z),由题意，得-2x-y十3z=0, P⊥AB,PA⊥AC x-3y+2z=0, ∴Pi.AB=0,PA.AC=0 x=1, x=-1, |x一1十z=0,.x=一1， 解得y=1,或y=-1, ∴-2-=0,1 =2. z=1 z=-1, 答案-12 即a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1) 第2课时空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系的建立方法 课标定位 2.会确定空间中点的坐标 素养阐释 3.掌握两点间的距离公式及中点坐标公式，并能灵活应用 4.加强直观想象和数学运算能力的培养 课前·基础认知 一、 空间直角坐标系 2.填空：(1)空间直角坐标系的定义 【问题思考】 为了刻画空间中点的位置，我们可以按照如下方式建立 1.数轴上的点有一维坐标，平面直角坐标系内的点有两 空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点， 维坐标，那么如何确定空间中一个点的位置？ 选择合适的平面先建立平面直角坐标系Oy,然后过O作 提示建立空间直角坐标系，通过坐标确定 一条与xOy平面垂直的数轴x轴.这样建立的空间直角坐 22
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 3.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+ b与a-b的夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 解析 ∵a+b=(cosα+sinα,2,sinα+cosα),a-b= (cosα-sinα,0,sinα-cosα),∴(a+b)·(a-b)= cos2α-sin2α+sin2α-cos2α=0, ∴(a+b)⊥(a-b),∴a+b 与a-b 的夹角为90°. 故选 A. 答案 A 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b), 则( ) A.x= 1 3 ,y=1 B.x= 1 2 ,y=-4 C.x=2,y=- 1 4 D.x=1,y=-1 解析 ∵a=(1,2,-y),b=(x,1,2),∴a+2b=(1+2x, 4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2). ∵(a+2b)∥(2a-b),∴存在λ∈R,使a+2b= λ(2a-b),即 1+2x=λ(2-x), 4=3λ, 4-y=λ(-2y-2), 解得 x= 1 2 , y=-4. 答案 B 5.已知P→A=(-x,1,-z),A→B=(-1,-1,-1),A→C=(2, 0,1).若 P→A ⊥A→B,P→A ⊥A→C,则x= ,z= . 解析 ∵P→A=(-x,1,-z), A→B=(-1,-1,-1),A→C=(2,0,1), P→A⊥A→B,P→A⊥A→C, ∴P→A·A→B=0,P→A·A→C=0, ∴ x-1+z=0, -2x-z=0, ∴ x=-1, z=2. 答案 -1 2 6.已知P→Q=(2cosβ-3cosα,2sinβ-3sinα,0),则|P→Q|的 取值范围是 . 解析 |P→Q|= (2cosβ-3cosα)2+(2sinβ-3sinα)2+02 = 13-12(cosαcosβ+sinαsinβ) = 13-12cos(α-β). ∵cos(α-β)∈[-1,1], ∴|P→Q|的取值范围为[1,5]. 答案 [1,5] 7.已知a=(2,-1,2)与b共线,且满足a·b=-18,求向量b. 解 设b=(2λ,-λ,2λ), 由a·b=4λ+λ+4λ=-18,得λ=-2, 即b=(-4,2,-4). 挑战 创新 已知A→B=(-2,-1,3),A→C=(1,-3,2). (1)求以A→B,A→C 为邻边的平行四边形面积; (2)若|a|= 3,且a 分别与A→B,A→C 垂直,求向量a 的 坐标. 解 (1)∵A→B=(-2,-1,3),A→C=(1,-3,2), ∴cos<A→B,A→C>= A→B·A→C |A→B||A→C| = -2+3+6 14× 14 = 1 2 , ∴sin<A→B,A→C>= 3 2 , ∴以A→B,A→C 为邻边的平行四边形面积 S=|A→B||A→C|sin<A→B,A→C>=73. (2)设a=(x,y,z),由题意,得 x2+y 2+z2=3, -2x-y+3z=0, x-3y+2z=0, 解得 x=1, y=1, z=1 或 x=-1, y=-1, z=-1, 即a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 第2课时 空间直角坐标系 课标定位 素养阐释 1.了解空间直角坐标系的建立方法. 2.会确定空间中点的坐标. 3.掌握两点间的距离公式及中点坐标公式,并能灵活应用. 4.加强直观想象和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、空间直角坐标系 【问题思考】 1.数轴上的点有一维坐标,平面直角坐标系内的点有两 维坐标,那么如何确定空间中一个点的位置? 提示 建立空间直角坐标系,通过坐标确定. 2.填空:(1)空间直角坐标系的定义 为了刻画空间中点的位置,我们可以按照如下方式建立 空间直角坐标系:在空间中任意选定一点O 作为坐标原点, 选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy,然后过O 作 一条与xOy 平面垂直的数轴z 轴.这样建立的空间直角坐 22
第一章空间向量与立体几何 标系记作Oxyz 卦限的点集用集合可表示为{(x,y,z)x>0,y>0,z>0}, 在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两互 其他卦限的点集可用类似的方法表示. 相垂直的，它们都称为坐标轴：通过每两个坐标轴的平面都 3.做一做：如图，建立空间直角坐标系，若正方体 称为坐标平面，分别记为xOy平面、vOz平面、Ox平面. ABCD-A1B1CD1的棱长为2，点P是B,C1的中点，则点 之轴的正方向一般按照如下方式确定：在x轴的正半轴看 C1的坐标为 ;点D的坐标为 :点P xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90能与 的坐标为 y轴的正半轴重合. 在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y 轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°（或 45),z轴与y轴（或x轴）垂直，如下图①②所示. B 答案(2,2,2)(0,2,0)(2,1,2) 二、空间直角坐标系中两点间的距离公式及中 点坐标公式 【问题思考】 图① 图② 1.在空间直角坐标系Oxyz下，若点A(2,2,2),B(4, 一6，一2)，点P是线段AB的中点，则A,B之间的距离是 (2)空间中点的坐标 建立了空间直角坐标系Oxyz之后，如上图①②所示， 多少？点P的坐标是什么？ 设M为空间中的一个点，过M分别作垂直于x轴、y轴、z 提示AB=OB-OA=(2,-8,-4), 轴的平面，设这些平面与x轴、y轴、z轴依次交于点P,Q, .|AB1=AB1=√4+64+16=2√2T R,且P,Q,R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,那 么点M就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z):反过来，给 0=20i+0)=26,-4.0=(3.-2.0 定有序实数组(x,y,z),可以在x轴、y轴、z轴上依次取坐 .点P的坐标是(3，一2,0). 标为x,y,z的点P,Q,R,分别过P,Q,R作垂直于x轴、 2.填空：若A(x1,y1,1),B(x2,y2,2),点P是线段 y轴、x轴的一个平面，则有序实数组(x,y,z)就与这三个 AB的中点，则有 平面唯一的公共点对应. (1)AB=(x2-x1y2-y1,z2-z1 这样一来，空间中的点与三个实数组成的有序实数组之 (2)AB=|AB|=√2-x1)+(y2-y)+(2-2 间，有了一一对应关系，空间一点M的位置完全由有序实数 (3)P(十，十y,+2 组(x,y,z)确定，因此将(x,y,z)称为点M的坐标，记作 2 2 2 M(x,y,z).此时，x,y,z都称为点M的坐标分量，且x称 3.做一做：已知点M(-1,2,0),N(3,-4,6),求线段 为点M的横坐标（或x坐标），y称为点M的纵坐标（或y MN的中点P的坐标和线段MN的长度. 坐标)，x称为点M的竖坐标（或z坐标） 解P(1,-1,3): (3)卦限 1MN1=1MN1=√/3-(-1)J]2+(-4-2)2+62= 空间中建立了空间直角坐 √/16+36+36=2√/22 标系之后，三个坐标平面将不在 【思考辨析】 坐标平面内的点分成了八个部 分，如图所示.习惯上，每一部分 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)同一点在不同的空间直角坐标系下的坐标不同.（√） 都称为一个卦限，按逆时针方 (×) 向，在坐标平面xOy的上方，分 (2)点(1,1，一1)在第Ⅷ卦限 (3)点M(1,2,3)到点N(一1，一2，一3)的距离是 别是第I卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ 卦限、第N卦限：在xOy的下方，分别是第V卦限、第M卦 214. (/) 限、第M卦限、第Ⅲ卦限.事实上，根据点的坐标的特征，第I (4)对于线段MN及其中点P,已知点M,P的坐标，就 能求得点N的坐标. (/) 课堂 重难突破 探究一 确定空间直角坐标系中点的坐标 标原点，AB,AD,AA,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方 向，建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度。 【例1】画一个正方体ABCD-AB,CD1,以A为坐 23
第一章 空间向量与立体几何 标系记作Oxyz. 在空间直角坐标系Oxyz中,x 轴、y 轴、z 轴是两两互 相垂直的,它们都称为坐标轴;通过每两个坐标轴的平面都 称为坐标平面,分别记为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. z轴的正方向一般按照如下方式确定:在z 轴的正半轴看 xOy平面,x 轴的正半轴绕O 点沿逆时针方向旋转90°能与 y轴的正半轴重合. 在平面内画空间直角坐标系Oxyz 时,一般把x 轴、y 轴画成水平放置,x 轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或 45°),z轴与y轴(或x 轴)垂直,如下图①②所示. 图① 图② (2)空间中点的坐标 建立了空间直角坐标系Oxyz 之后,如上图①②所示, 设M 为空间中的一个点,过 M 分别作垂直于x 轴、y轴、z 轴的平面,设这些平面与x 轴、y 轴、z 轴依次交于点P,Q, R,且P,Q,R 在x 轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,那 么点M 就对应唯一确定的有序实数组(x,y,z);反过来,给 定有序实数组(x,y,z),可以在x 轴、y 轴、z轴上依次取坐 标为x,y,z的点P,Q,R,分别过P,Q,R 作垂直于x 轴、 y轴、z 轴的一个平面,则有序实数组(x,y,z)就与这三个 平面唯一的公共点对应. 这样一来,空间中的点与三个实数组成的有序实数组之 间,有了一一对应关系,空间一点M 的位置完全由有序实数 组(x,y,z)确定,因此将(x,y,z)称为点 M 的坐标,记作 M(x,y,z).此时,x,y,z都称为点M 的坐标分量,且x 称 为点M 的横坐标(或x 坐标),y 称为点M 的纵坐标(或y 坐标),z称为点M 的竖坐标(或z坐标). (3)卦限 空间中建立了空间直角坐 标系之后,三个坐标平面将不在 坐标平面内的点分成了八个部 分,如图所示.习惯上,每一部分 都称为 一个卦限,按逆时针方 向,在坐标平面xOy 的上方,分 别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ 卦限、第Ⅳ卦限;在xOy 的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦 限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限.事实上,根据点的坐标的特征,第Ⅰ 卦限的点集用集合可表示为{(x,y,z)|x>0,y>0,z>0}, 其他卦限的点集可用类似的方法表示. 3.做 一 做:如 图,建 立 空 间 直 角 坐 标 系,若 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2,点P 是B1C1 的中点,则点 C1 的坐标为 ;点 D 的坐标为 ;点P 的坐标为 . 答案 (2,2,2) (0,2,0) (2,1,2) 二、空间直角坐标系中两点间的距离公式及中 点坐标公式 【问题思考】 1.在空间直角坐标系Oxyz 下,若点A(2,2,2),B(4, -6,-2),点P 是线段AB 的中点,则A,B 之间的距离是 多少? 点P 的坐标是什么? 提示 ∵A→B=O→B-O→A=(2,-8,-4), ∴|AB|=|A→B|= 4+64+16=2 21. ∵O→P= 1 2 (O→A+O→B)= 1 2 (6,-4,0)=(3,-2,0), ∴点P 的坐标是(3,-2,0). 2.填空:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),点P 是线段 AB 的中点,则有 (1)A→B=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). (2)AB=|A→B|= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2. (3)P x1+x2 2 , y1+y2 2 , z1+z2 2 . 3.做一做:已知点 M(-1,2,0),N(3,-4,6),求线段 MN 的中点P 的坐标和线段MN 的长度. 解 P(1,-1,3); |MN|=|M→N|= [3-(-1)]2+(-4-2)2+62 = 16+36+36=2 22. 【思考辨析】 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)同一点在不同的空间直角坐标系下的坐标不同.(√) (2)点(1,1,-1)在第Ⅷ卦限. (×) (3)点 M (1,2,3)到点 N (-1,-2,-3)的距离是 2 14. (√) (4)对于线段MN 及其中点P,已知点M,P 的坐标,就 能求得点N 的坐标. (√) 课堂·重难突破 探究一 确定空间直角坐标系中点的坐标 【例1】画一个正方体ABCD-A1B1C1D1,以A 为坐 标原点,A→B,A→D,AA1 → 的方向分别为x 轴、y轴、z 轴正方 向,建立空间直角坐标系,取正方体的棱长为单位长度. 23
数学 选择性必修第一册 配人教B版 探究二两点间距离公式和中点坐标公式的 B 应用 【例2】已知点A(-1,2,3),B(2,-2,3), D B C(分，多.)，求△ABC中边AB上的中线CD的长度 X (1)求各顶点的坐标： 分析先由中点坐标公式求出点D的坐标，再利用两 (2)求棱CC的中点M的坐标及AC的中点F的坐标： ,点间距离公式求CD的长度， (3)求平面AA,B,B对角线交点N的坐标， 解A(-1,2,3),B(2,-2,3), 解如题图，由棱长为1，可得： (1)各顶点坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, AB的中点D(号0.3) 0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1). (2:M是CC的中点M1.1） cD=1ò1=√份-2》+0-》+3-3 F为AC的中点F(侵号o0 2 (③)平面A,B,B对角线交点为N(号0，） 武边AB上的中线长为受 延伸探究 ①反思感悟 确定空间中点P坐标的方法： 在本例中，若点D是AB的中点，点E是AB的子分 由点P分别作垂直于x轴、y轴、之轴的平面，依 点，且靠近点A,求DE的长度. 次交x轴、y轴、之轴于点P,P,P,这三个点在x 解：点D是AB的中点， 轴y轴、之轴上的坐标分别为x,y,2,那么点P的坐 标就是(xy,z). D(号，0.3 【变式训练1】如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中， E,F分别是棱BC,CC,上的点，ICF|=IABI=2ICEI, 又点E是AB的分点，且靠近点A, |AB|:|AD|:|AA=1:2:4.试建立适当的坐标系，写 E(-13, 出点E,F的坐标 +(1-0)2+(3-3)2= 层+1= 反思感悟 A D 灵活应用公式是求解两点间距离和中点坐标的 关键 解以A为坐标原点，AB,AD,AA,的方向分别为x 轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 【变式训练2】求出下面两点间的距离及中点坐标， (1)A(0,-2.8),B(-√2,3.5)： (2)A(-6,1,-3),B(-4,0,-1). 解(1)AB=|AB =√-2-0)2+[3-(-2)]2+(5-8)7 =6. 分别设|AB|=1,|AD|=2,|AA|=4,则ICF|= AB的中点堂标为(-号》 IABI-1,ICEI-ABI-BEI-IBCI-ICEI- (2)AB=|AB】 2-- =√/[-4-(-6)]+(0-1)2+[-1-(-3)℉ =3. 点E的坐标为1，号，0），点F的坐标为(1,21). AB的中点坐标为(-5，号，-2)】 24
数 学 选择性必修 第一册 配人教B版 (1)求各顶点的坐标; (2)求棱C1C 的中点M 的坐标及AC 的中点F 的坐标; (3)求平面AA1B1B 对角线交点N 的坐标. 解 如题图,由棱长为1,可得: (1)各顶点坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1). (2)∵M 是C1C 的中点,∴M 1,1, 1 2 . ∵F 为AC 的中点,∴F 1 2 , 1 2 ,0 . (3)平面AA1B1B 对角线交点为N 1 2 ,0, 1 2 . 确定空间中点P 坐标的方法: 由点P 分别作垂直于x 轴、y 轴、z轴的平面,依 次交x 轴、y 轴、z 轴于点Px,Py,Pz,这三个点在x 轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,那么点P 的坐 标就是(x,y,z). 【变式训练1】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是棱BC,CC1 上的点,|CF|=|AB|=2|CE|, |AB|∶|AD|∶|AA1|=1∶2∶4.试建立适当的坐标系,写 出点E,F 的坐标. 解 以A 为坐标原点,A→B,A→D,AA1 → 的方向分别为x 轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示. 分别设|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=4,则|CF|= |AB|=1,|CE|= 1 2 |AB|= 1 2 ,∴|BE|=|BC|-|CE|= 2- 1 2 = 3 2 . ∴点E 的坐标为 1, 3 2 ,0 ,点F 的坐标为(1,2,1). 探究二 两点间距离公式和中点坐标公式的 应用 【例 2】已 知 点 A (-1,2,3),B (2,-2,3), C 1 2 , 5 2 ,3 ,求△ABC 中边AB 上的中线CD 的长度. 分析 先由中点坐标公式求出点D 的坐标,再利用两 点间距离公式求CD 的长度. 解 ∵A(-1,2,3),B(2,-2,3), ∴AB 的中点D 1 2 ,0,3 . ∴CD=|C→D|= 1 2 - 1 2 2 + 0- 5 2 2 +(3-3)2 = 5 2 . 故边AB 上的中线长为 5 2 . 在本例中,若点D 是AB 的中点,点E 是AB 的 1 4 分 点,且靠近点A,求DE 的长度. 解 ∵点D 是AB 的中点, ∴D 1 2 ,0,3 . 又点E 是AB 的 1 4 分点,且靠近点A, ∴E - 1 4 ,1,3 , ∴DE=|D→E|= - 1 4 - 1 2 2 +(1-0)2+(3-3)2 = 9 16 +1= 5 4 . 灵活应用公式是求解两点间距离和中点坐标的 关键. 【变式训练2】求出下面两点间的距离及中点坐标. (1)A(0,-2,8),B(- 2,3,5); (2)A(-6,1,-3),B(-4,0,-1). 解 (1)AB=|A→B| = (- 2-0)2+[3-(-2)]2+(5-8)2 =6. AB 的中点坐标为 - 2 2 , 1 2 , 13 2 . (2)AB=|A→B| = [-4-(-6)]2+(0-1)2+[-1-(-3)]2 =3. AB 的中点坐标为 -5, 1 2 ,-2 . 24
第一章空间向量与立体几何 探究三空间直角坐标系的应用 规范解答 【例3】在正方体ABCD-A,B,CD1中，P为平面 利用空间直角坐标系求两点间距离 ABCD1的中心，求证：AP⊥B1P 【典例】已知在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠BAC= 建立空 90°，AB=AC=AA1=4,M为BC1的中点，N为A1B1的中 利用空间两点间 利用直角三角 点，求MN的长 分析间直角 的距离公式求相 形中三边的关 坐标系 关线段长 系证明 审题策略先根据几何图形的结构特点建立适当的空 间直角坐标系，再确定相关点的坐标，最后利用两点间距离 证明以D为坐标原点，DA, 公式求解， D元，DD1的方向分别为x轴y轴、 规范展示如图，以A为原点， 之轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示.设正方体的棱长为1，则 AB,AC,AA1的方向分别为x轴y 轴、之轴的正方向建立空间直角坐 A1o0Br11D.P(22. 标系， 连接AB1,由空间中两点间的距离公式得AP 则B(4,0,0),C1(0,4,4), A(0,0,4),B1(4,0,4).因为M为 =√兮-1+（合-o)+1-0-5 ,B,P= BC1的中点，N为A1B1的中点， B=店-+（合-+-=号AB, 所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M(生”。 1AB11=√1-1)2+(1-0)2+(1-0=2 生，).N(生兰，空，岁).即Me.22N2. 在△AB1P中，AP2+B,P2=AB, 0,4) ∴.∠APB=90°，即AP⊥B,P 所以由两点间的距离公式得MN=|M衣|= 反思感悟 √(2-2)2+(0-2)2+(4-2)7=22. 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长 答题模板第1步：建立空间直角坐标系。 度间的数量关系，判断两条相交直线或线段垂直时，可 第2步：确定点的坐标，M(x1y1z1),N(x2y2z2), 建立适当的空间直角坐标系，通过坐标运算解决问题. 第3步：利用公式MN=M 【变式训练3】在正方体ABCD-A1B1C,D1中，E为 =√(x2-x1)2+(y2-y1)+(22-21)产求值 AC的中点，求证： ①失误警示 (1)BD1⊥AC: 造成失分原因有以下几点， (2)BD1⊥EB. (1)未在合适位置建系，加大了确定点坐标的 证明以D为原点，DA,D心，DD,的方向分别为x轴、 难度 y轴、之轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.设正方 (2)确定点坐标错误 体的棱长为1，则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1, (3)应用公式时计算出错， 0.E号号o0)B,11.D 【变式训练】在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D 中，E,F分别是DD,BD的中点，G在棱CD上，且CG= D CD,H为C,G的中点，求EH和FG的长 解以D为坐标原点，DA,D心， 2 D DD1的方向分别为x轴、y轴、x轴 正方向，建立空间直角坐标系，如图 (1)BD1=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0), 所示」 BD,.AC=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, 因为E为DD1的中点，所以点 BDLAC,∴BD1LAC E的坐标为(0,0，)】 2BD=(-1.-1.丽=（分， 过点F作FM⊥AD交AD于点M,FN⊥CD交CD BD·E=(-1)×+(-1×2+1X1=0, 1 于点N,由平面几何知识得FM=号，PN=,故点F的坐 ..BD LEB, 标为侣号o） .BD1⊥EB1 因为，点G在y轴上，故其横坐标、竖坐标均为0， 25
第一章 空间向量与立体几何 探究三 空间直角坐标系的应用 【例3】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为平面 A1B1C1D1 的中心,求证:AP⊥B1P. 分析 建立空 间直角 坐标系 → 利用空间两点间 的距离公式求相 关线段长 → 利用直角三角 形中三边的关 系证明 证明 以 D 为坐标原点,D→A, D→C,DD1 → 的方向分别为x 轴、y 轴、 z轴正方向,建立空间直角坐标系, 如图所示.设正方体的棱长为1,则 A(1,0,0),B1(1,1,1),P 1 2 , 1 2 ,1 . 连接AB1,由 空 间 中 两 点 间 的 距 离 公 式 得 AP = |A→P|= 1 2 -1 2 + 1 2 -0 2 + 1-0 2 = 6 2 ,B1P = |B1 →P|= 1 2 -1 2 + 1 2 -1 2 +(1-1)2 = 2 2 ,AB1 = |AB1 →|= (1-1)2+(1-0)2+(1-0)2 = 2. 在△AB1P 中,∵AP2+B1P2=AB2 1, ∴∠APB1=90°,即AP⊥B1P. 已知立体几何中点、线、面间的位置关系及线段长 度间的数量关系,判断两条相交直线或线段垂直时,可 建立适当的空间直角坐标系,通过坐标运算解决问题. 【变式训练3】在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AC 的中点,求证: (1)BD1⊥AC; (2)BD1⊥EB1. 证明 以D 为原点,D→A,D→C,DD1 → 的方向分别为x 轴、 y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.设正方 体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1, 0),E 1 2 , 1 2 ,0 ,B1(1,1,1). (1)BD1 →=(-1,-1,1),A→C=(-1,1,0), ∴BD1 →·A→C=(-1)×(-1)+(-1)×1+1×0=0, ∴BD1 →⊥A→C,∴BD1⊥AC. (2)BD1 →=(-1,-1,1),EB1 →= 1 2 , 1 2 ,1 , ∴BD1 →·EB1 →=(-1)× 1 2 +(-1)× 1 2 +1×1=0, ∴BD1 →⊥EB1 →, ∴BD1⊥EB1. 规 范 解 答 利用空间直角坐标系求两点间距离 【典例】已知在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90°,AB=AC=AA1=4,M 为BC1 的中点,N 为A1B1 的中 点,求MN 的长. 审题策略 先根据几何图形的结构特点建立适当的空 间直角坐标系,再确定相关点的坐标,最后利用两点间距离 公式求解. 规范展示 如图,以A 为原点, A→B,A→C,AA1 → 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐 标系, 则 B (4,0,0),C1 (0,4,4), A1(0,0,4),B1(4,0,4).因为 M 为 BC1 的中点,N 为A1B1 的中点, 所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得 M 4+0 2 , 0+4 2 , 0+4 2 ,N 0+4 2 , 0+0 2 , 4+4 2 ,即 M(2,2,2),N (2, 0,4). 所以 由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 MN =|M→N |= (2-2)2+(0-2)2+(4-2)2 =22. 答题模板 第1步:建立空间直角坐标系. 第2步:确定点的坐标,M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2). 第3步:利用公式MN=|M→N| = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 求值. 造成失分原因有以下几点. (1)未在合适位置建系,加大了确定点坐标的 难度. (2)确定点坐标错误. (3)应用公式时计算出错. 【变式训练】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是D1D,BD 的中点,G 在棱CD 上,且CG= 1 4 CD,H 为C1G 的中点,求EH 和FG 的长. 解 以D 为坐标原点,D→A,D→C, DD1 → 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴 正方向,建立空间直角坐标系,如图 所示. 因为E 为DD1 的中点,所以点 E 的坐标为 0,0, 1 2 . 过点F 作FM ⊥AD 交AD 于点M,FN ⊥CD 交CD 于点N,由平面几何知识得FM= 1 2 ,FN= 1 2 ,故点F 的坐 标为 1 2 , 1 2 ,0 . 因为点G 在y轴上,故其横坐标、竖坐标均为0, 25